§3 Сложная функция.

Пусть u= (x) – некоторая функция. Рассмотрим функцию y=f(u), такую, что её область определения совпадала или хотя бы имела общую часть с областью значений функции u= (x). Тогда можно рассматривать y=f(u)= y=f( (x)) как функцию от х. Заданная таким образом функция называется сложной функцией. Для вычисления значений сложной функции надо строго соблюдать последовательность производимых операций, т.е. необходимо представить сложную функцию как композицию более простых.

Для записи композиций функций употребляется значок ○. Например, запись h= f○g означает, что функция h получена как композиция функций f и g: сначала применяется g, а затем f, то есть f○g= f(g(х)).

Пример:

f(x)= x², g(x)= .

y= f(g(x))= f○g(x)=

y=g(f(x))= g○ f(x)= .

Из примера видно, что операция образования сложной функции (или композиции функций) не обладает переместительным свойством: f ○ g ≠ g ○ f.

§5 Обратная функция.

Р ассмотрим функцию y=f(x), областью определения которой служит [a;b], а областью изменения [c;d]. Функция у ставит в соответствие каждой точке из [a;b] некоторую точку из [c;d]. Для изображенной функции можно установить и обратное соответствие: каждому значению y₀ из [c;d] соответствует единственное значение x₀ из [a;b], такое что y₀=f(x₀). Тем самым х можно рассматривать как функцию от y с областью определения [c;d], областью изменения [a;b]. Функцию x=g(y) назовем обратно по отношению к функции y=f(x).

Z.B Найти функцию, обратную к функции y=4 .

Решение: 1) выразим из данной формулы х через у:

4 ; = ;

2. Поменяем местами x и y:

При каком условии существует функция, обратная к функции f(x)? Видимо, если из соотношения y=f(x) переменную х можно однозначно выразить через y.

П ример: 1) y=|x|. Выразить однозначно х через у нельзя. 2) у=х²; x= , x= . Тоже однозначно нельзя выразить.

Мы видим, что прямая у=у₀ пересекает графики функций более, чем в одной точке. Для у₀ мы не можем однозначно найти х. Итак, функция у=f(x) имеет обратную, если уравнение f(x₀)=y₀ при любом y₀ имеет не более одного решения. Это условие выполняется для строго монотонной функции.

Достаточный признак существования обратной функции:

Если функция строго возрастает (убывает) на множестве X, то для неё существует обратная.

Самостоятельная работа №1. Колмогоров Алгебра 10-11, стр 239 теорема.

Самостоятельная работа №2. Башмаков Алгебра 10-11 стр 213-214 Свойства взаимно обратных функций.

§6 Элементарные функции.

Основные:

1. Степенные функции y=x^k, k R

2. Показательные функции y=a^x, a>0, a 1

3. Логарифмические функции y=log_ax, a>0, a 1

4. Тригонометрические функции y= sin x, y=cosx, y=tgx, y=ctgx.

5. Обратные тригонометрическим функции y= arcsin x, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

Функции, образованные применением к аргументу только трех целых, рациональных действий, называют целыми рациональными функциями (полиномы, многочлены).

Например: у = ах+b – линейная функция, y=ax²+bx+c – квадратичная функция.

Дробно- рациональной функцией называют функцию, которая требует для своего образования выполнения рациональных действий (включая деление).

Например: ; – дробно-линейная функция.

Если кроме рациональных операций для образования функции применяется еще и извлечение корня целой степени, то такую функцию называют иррациональной функцией.

Например: