Обобщенная и каноническая постановка задачи
Для того, чтобы решить поставленную задачу линейного программирования стандартным симплекс-методом, необходимо перейти от обобщенной постановки задачи к постановке в каноническом виде (или основной задаче линейного программирования) .
Для канонической формы характерно следующее:
а) целевая функция минимизируется;
б) основные ограничения состоят из уравнений с неотрицательными правыми частями;
в) все неизвестные неотрицательны.
т.о. математическая запись задачи линейного программирования в канонической форме имеет вид:
,
где
, где
Или в матричном виде:
Z = CX min
A X = B,
B 0,
X 0.
На практике очень часто возникает ситуация, когда постановка решаемой задачи существенно отличается от постановки канонической.
В этом случае существуют два пути решения:
а) разработать собственную программу, которая будет строго реализовывать поставленную вами задачу;
б) осуществить преобразование постановки задачи от обобщенной формы к канонической.
При переходе от обобщенной записи к канонической руководствуются рядом правил.
Разберем конкретный случай - пусть в результате постановки получена следующая математическая запись задачи:
U = x1 - 4x2 max
3x1 + 2x2 + x3 4
x1 10
x1 + x2 + x3 25
2x2 - x3 = 8
x1 0, x2 0, x3 0
Перевод к канонической записи:
U = -x1 + 4x2 min (умножаем на -1)
3x1 + 2x2 +x3- x4 = 4 (вводим новую неизвестную x4, которая
приводит к равенству);
x1 + x5 = 10 (вводим дополнительную неизвестную x5);
x1 + x2 + x3 + x6 = 25 (вводим дополнительную неизвестную x6);
2x2 - x3 = 8 (оставляем неизменным);
x1 0, x2 0, x3 0, x40, x50, x60.
Таким образом, при переходе от обобщенной к канонической форме пришлось ввести дополнительно к исходным переменным три новые переменные (балансовые переменные). Но не всякая каноническая запись является достаточной для применения симплекс-метода. Для применения стандартного симплекс-метода необходимо, чтобы система основных ограничений содержала единичный базис. Поэтому следующим шагом в преобразовании является приведение системы ограничений к единичному базису и исключение базисных неизвестных из целевой функции.
Единичный базис - это набор неизвестных, удовлетворяющих следующим условиям:
от каждого уравнения в базис входит одна и только одна неизвестная;
каждая неизвестная из этого набора входит с коэффициентом +1 в одно уравнение и отсутствует в остальных уравнениях.
Неизвестные, входящие в единичный базис, называются базисными, а остальные - свободными или небазисными.
Если свободным неизвестным придать некоторые значения, то этим самым однозначно определяются значения базисных неизвестных. В частности, если свободные переменные равны нулю, то базисные неизвестные равны правым частям соответствующих уравнений. Полученное таким образом допустимое решение назовем естественным планом.
Рассмотрим наш пример:
U = -x1 + 4x2 min
3x1 + 2x2 + x3 - x4 = 4
x1 + x5 = 10
x1 + x2 + x3 + x6 = 25
2x2 - x3 = 8
x1 0, x2 0, x3 0, x40, x50, x60.
Понятно, что в качестве элементов единичного базиса можно взять неизвестные x5 и x6. Кроме того, в уравнениях 1-м и 4-м вводим дополнительные переменные x7 и x8 (искусственные базисные переменные). Система ограничений принимает вид:
3x1 + 2x2 + x3 - x4 + x7 = 4
x1 + x5 = 10
x1 + x2 + x3 + x6 = 25
2x2 - x3 + x8 = 8
x1 0, x2 0, x3 0, x40, x50, x60, x70 , x80.
Новая система ограничений окажется равносильной первоначальной только в том случае, если все искусственные неизвестные в результате решения задачи будут равны нулю. С учетом этого искусственные неизвестные вводятся в целевую функцию с очень большим положительным коэффициентом M.
U = -x1 + 4x2 + M(x7+x8) min
Так как для решения задачи базисные переменные должны быть выведены из целевой функции, выразим переменные x7 и x8 из соответствующих уравнений системы основных ограничений:
x7 = 4 - 3x1 - 2x2 - x3 + x4
x8= 8 - 2x2 + x3 .
В результате получаем новое представление целевой функции:
V = (-1 - 3M)x1 + (4 - 4M)x2 + Mx4 + 12M min.
Полагая свободные неизвестные равными нулю, получаем исходное базисное решение:
x1=0, x2=0, x3=0, x4=0, x5=10, x6=25, x7=4, x8=8.
Таким образом, рассмотренная задача приведена к каноническому виду и определен базисный план.
Рассмотрим пример 2 , заданный в каноническом виде:
U=3x2 - 4x3 + 8 min
x1 + 2x2 + 6x3 = 12
x2 + 2x3 + x4 = 43
-x2 + x3 + x5 = 32
x1 ,..., x5 0
x1, x4, x5 - базисные; x2, x3- свободные.
Если x2=0, x3=0, имеем x1= 12, x4 =43, x5 = 32;
естественный план равен: x1 = 12, x2=0, x3=0, x4=43, x5 = 32.
Графическим методом решения задачи линейного программирования мы можем воспользоваться только в случае, когда количество свободных переменных равно двум (трем), но этот метод дает представление об общем случае существования решений задачи для произвольного n-мерного пространства.
Рассмотрим систему линейных неравенств с двумя неизвестными. Возможны следующие варианты: область допустимых решений системы линейных неравенств представляет собой ограниченное, неограниченное и пустое множество. Ясно, что в случае пустого множества допустимых решений задача не имеет решения, в случае неограниченного множества решений экстремум целевой функции также неограничен сверху.
Рассмотрим совместную систему линейных неравенств с ограниченным множеством допустимых решений. Пусть, кроме того задана линейная функция цели F = c1x1 + c2x2 . Найдем среди множества точек (x1; x2) из области решений системы линейных неравенств такие, которые придают заданной линейной функции наибольшее (наименьшее) значение. Для каждой точки плоскости функция F принимает некоторое фиксированное значение F = F1. Множество всех таких точек есть прямая c1x1 + c2x2= F1, перпендикулярная вектору C(c1; c2), выходящему из начала координат. Если эту прямую передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора C, то линейная функция F = c1x1 + c2x2 будет возрастать, а в противоположном направлении - убывать.
Пусть при движении прямой F в положительном направлении вектора C она впервые встретится с прямоугольником решений в его вершине, тогда в этом положении прямая F становится опорной, и на этой прямой функция F принимает наименьшее значение. При дальнейшем движении в том же направлении прямая F пройдет через другую вершину многоугольника решений, выходя из области решений, и станет также опорной прямой, на ней функция F принимает наибольшее значение среди всех значений, принимаемых на многоугольнике решений.
Таким образом, минимизация и максимизация линейной функции F на многоугольнике решений достигаются в точках пересечения многоугольника допустимых решений с опорными прямыми, перпендикулярными вектору C(c1; c2). Опорная прямая может иметь с многоугольником решений либо одну общую точку (вершину многоугольника), либо множество точек (сторона многоугольника).
x2
F
= F2
_
C
0 F = F1 x1
F = 0