Примечание:
Операции над комплексными числами
;
.
Сложение и вычитание комплексных чисел производится путём сложения и вычитания действительных и мнимых составляющих комплексных чисел
,
,
.
Умножение комплексных чисел проводится путём почленного умножения действительных и мнимых составляющих
.
При делении на комплексное число, выраженное в алгебраической форме, нужно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное знаменателю
или
.
Действия с комплексными числами достаточно просто выполняются с помощью инженерного калькулятора.
ЛЕКЦИЯ № 4
Тема № 4 Анализ и расчёт линейных цепей переменного тока
Учебные вопросы:
4.3 Анализ и расчёт, векторные диаграммы электрических цепей при последовательном соединении R, L, C элементов. Векторная топографическая диаграмма. Треугольники напряжений, сопротивления мощностей. Комплексная мощность. Резонанс напряжений, условия возникновения.
4.4 Параллельное соединение элементов R, L, C. Уравнение электрического состояния. Векторная диаграмма. Резонанс токов, условия его возникновения и практическое применение. Коэффициент мощности и его экономическое значение.
Литература:
Касаткин А.С. Основы электротехники: учебное пособие, 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1982.
4.3 Анализ и расчёт, векторные диаграммы электрических цепей при последовательном соединении R, L, C элементов. Векторная топографическая диаграмма. Треугольники напряжений, сопротивления мощностей. Комплексная мощность. Резонанс напряжений, условия возникновения.
В качестве потребителей электрической энергии в цепях переменного тока используются самые различные технические устройства, число их велико, но в схемах замещения, отражающих явления, происходящие в цепях, мы будем использовать три типа идеальных элементов:
а) резисторный элемент
Этот элемент обладает только активным сопротивлением и отражает необратимый процесс поглощения энергии (преобразование энергии в тепловую).
б) индуктивный элемент
Это идеальная катушка, активное сопротивление провода которой принимается равным нулю. Этот элемент отражает свойство катушки создавать магнитное поле.
в) ёмкостной элемент
Это идеальный конденсатор, не имеющий токов утечки. Этот элемент отражает свойство накопления зарядов или создания электрического поля.
1) Цепь синусоидального тока с резистивным сопротивлением
|
Пусть По закону Ома для мгновенных значений
|
где
– амплитудное значение тока, протекающего
через резистор.
Рис. 1 |
Как видно из полученных выражений и из рисунка, начальные фазы тока и напряжения на резисторе одинаковые, т.е. ток через резистор совпадает по фазе с напряжением на резисторе.
|
где ψ (пси) – начальная фаза. |
|
Переменный синусоидальный ток в течение периода имеет различные мгновенные значения. Естественно поставить вопрос, какое же значение тока будет измеряться амперметром, включенным в цепь?
При расчётах цепей переменного тока, а также при электрических измерениях неудобно пользоваться мгновенными или амплитудными значениями токов и напряжений, а их средние значения за период равны нулю. Кроме того, об электрическом эффекте периодически изменяющегося тока (о количестве выделенной теплоты, о совершенной работе и т. д.) нельзя судить по амплитуде этого тока.
Наиболее удобным оказалось введение понятий, так называемых действующих значений тока и напряжения. В основу этих понятий положено тепловое (или механическое) действие тока, не зависящее от его направления.
Действующее значение переменного тока – это значение постоянного тока, при котором за период переменного тока в проводнике выделяется столько же теплоты, сколько и при переменном токе.
Среднеквадратичное значение (устар. действующее):
,
где
– действующее значение напряжения.
Получили закон Ома для действующих значений.
Запишем комплексные ток и напряжение:
;
.
Изобразим комплексные ток и напряжение в виде вектора на комплексной плоскости.
Совокупность векторов на комплексной плоскости, отображающих комплексные токи и напряжения для данной цепи, называется векторной диаграммой.
Рис. 2. Векторная диаграмма тока и напряжения на резистивном элементе |
Вектор тока через резистор совпадает по направлению с вектором напряжения на резисторе.
|
Мгновенная мощность, потребляемая резистивным элементом, определяется выражением:
,
а её график имеет вид:
Активная мощность цепи равна среднему значению мгновенной мощности:
Отсюда следует целесообразность использования действующих значений при расчётах параметров
.