Стоячие волны

При распространении в упругой среде одновременно нескольких волн возникает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды оказываются суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Это называют принципом суперпозиции (наложения) волн.

Рассмотрим случай, когда две гармонические волны с одинаковыми частотой  и амплитудой A распространяются в противоположных направлениях оси X.

и .

Для упрощения расчета, начала отсчета времени и координаты выбраны таким образом, чтобы начальные фазы ₁ и ₂ были равны нулю. Суперпозиция этих волн дает:

. (5)

Это и есть уравнение стоячей волны. Видно, что ее частота та же, т. е. , а амплитуда и, в отличие то бегущей гармонической волны зависит от координаты x. В точках, где амплитуда максимальна и наблюдаются пучности, а где амплитуда равна нулю – узлы. Так как период равен , поэтому и . т. е интервалы между соседними пучностями и узлами равны половине длине волны.

Между двумя соседними узлами все точки колеблются синфазно, при переходе же через узел фаза изменяется на , т.е. колебания по разные стороны от узла (в пределах полуволны) происходят в противофазе. Узлы стоячей волны как бы разделяют среду на области, в которых гармонические колебания совершаются независимо. Никакой передачи движения из одной области к другой, а значит и перетекания через узлы не происходит. Другими словами, нет никакого распространения возмущения вдоль оси X. Именно поэтому возмущения, описываемые формулой (5), и называют стоячей волной.

Скорость звука в воздухе (оценочный вывод формулы)

Рассмотрим процесс распространения звуковой волны в воздухе. В качестве источника звуковых волн возьмем колеблющуюся пластину. В результате смещения пластины у ее поверхности происходит увеличение давления и увеличение плотности на величину . Сжатый воздух расширяется и вызывает сжатие прилегающего к нему слоя воздуха и т. д. При распространении волны сжатия масса воздуха, проходящего за время через площадку S перпендикулярно направлению распространения волны, может быть выражена так,

,

где - плотность воздуха и v-скорость распространения волны сжатия.

Запишем для массы воздуха закон изменения импульса

.

Подставляя в этот закон выражение для и силы, действующей на эту массу , получим:

.

Отсюда получим выражение для скорости распространения волны:

или более строго .

Величина зависит от условий, при которых происходит сжатие и расширение при распространении волны. В случае воздушной среды, теплопроводность которой мала, зоны сжатия и расширения в тепловом отношении оказываются практически изолированными и не обмениваются теплом, поэтому процесс можно считать адиабатическим. Для адиабатического процесса давление и объем связаны уравнением , где , -молярная теплоемкость газа при постоянном давлении, - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Выразив V через массу и плотность , подставим его в уравнение адиабаты, получим: , следовательно или . Таким образом выражение для скорости звука примет следующий вид:

_.

Эту формулу удобно преобразовать к более удобному для расчета виду с использованием уравнения Менделеева-Клапейрона или . Подставляя выражение для давления в формулу для скорости звука, получим:

. (6)

Преобразуя формулу (6), найдем:

(7)

Таким образом для определения показателя адиабаты надо знать температуру воздуха T и измерить скорость распространения звука v (молярная масса воздуха M=0,029 кг/моль).