3. Одноканальная смо с ограниченной очередью
Пусть СМО имеет один канал обслуживания. Если заявка поступила в систему в момент занятости канала, она становится в очередь. Если поступившая заявка застала занятым канал и все m мест в очереди тоже заняты, то заявка покидает систему не обслуженной. Пусть поток заявок в СМО простейший с интенсивностью и время обслуживания одной заявки распределено по показательному закону с параметром .
Классификацию состояний СМО проведем по числу заявок, находящихся в системе. Состояния системы пронумерованы следующим образом:
S0- канал свободен;
S1- канал занят, очереди нет;
S2- канал занят, одна заявка в очереди;
S3- канал занят, две заявки в очереди;
-------------------------------------------------
Sm+1- канал занят, m заявок в очереди.
.Размеченный граф состояний является графом гибели и размножения
Тогда предельное распределение вероятностей состояний системы можно вычислять по формулам схемы гибели и размножения.
,
если ввести коэффициент загрузки системы , то
В последнем выражении вычислена сумма ( m +2) членов геометрической прогрессии со знаменателем .
Остальные предельные вероятности состояний равны:
;
;
;∙∙∙;
;∙∙∙;
.
Теперь рассчитаем показатели эффективности системы.
1. Вероятность того, что канал занят
Рзан= 1 - Ро.
2. Вероятность отказа в заявке
Ротк= Рm+1.
3. Вероятность того, что заявка будет обслужена ( относительная пропускная способность )
Q=
1 – Pотк=
1 – Рm+1
=1 -
.
4. Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок на Q,
.
5.
Среднее число занятых каналов
определим как математическое ожидание
дискретной случайной величины с
возможными значениями 0 и 1, вероятности
которых соответственно равны Р0
и ( 1- Р0
)
= 0∙Р0+ (1- Р0)∙1 = 1 – Р0.
6. Среднюю длину очереди найдём как математическое ожидание случайной величины, которая имеет значения: 0,1,2,3,∙∙∙,m c вероятностями соответственно ( Р0+Р1 ), Р2, Р3, Р4, ∙∙∙, Рm+1
,
Применим
« хитрость» :
есть не что иное, как производная
по
от выражения
,
следовательно,
.
Итак, средняя длина очереди вычисляется по формуле:
.
7. Среднее число заявок в системе:
.
8. Среднее время ожидания в очереди определим по формуле Литтла
.
9. Среднее время пребывания в системе обслуживания определим по формуле Литтла
Задача Рабочий (n=1) обслуживает m=4 станка. Поток требований на обслуживание пуассоновский с параметром =2 станка в час. Время обслуживания одного станка подчинено показательному закону. Среднее время обслуживания одного станка равно 8 минутам.
Определить: 1) среднее число станков, ожидающих обслуживания,
2) коэффициент простоя станка,
3) коэффициент простоя рабочего.
Решение. В данной задаче мы имеем дело с одноканальной СМО ( система массового обслуживания ) с ограниченной очередью. Рабочий, обслуживающий станки, выступает в роли канала. Количество обслуживаемых станков задаёт ограничение по длине очереди m=4.
Интенсивность
потока обслуживаний
станков в час.
Коэффициент
загрузки
1) Вероятность ( долю времени ) простоя рабочего определим по формуле:
2) Среднее число станков, ожидающих обслуживания, то есть длину очереди, определим по формуле:
;
3) Коэффициент простоя станка определяется отношением среднего числа станков, ожидающих обслуживания, к общему числу станков:
,
.
4) Коэффициент простоя рабочего определяется отношением среднего времени простоя рабочего к общему времени его работы по обслуживанию станков. Таким образом , коэффициент простоя рабочего есть доля времени его простоя:
Ответ:
1) среднее число станков, ожидающих
обслуживания
;
2)
;
3)
