2. Одноканальная смо с неограниченной очередью.

Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений. Поступает поток заявок с интенсивностью , поток обслуживаний имеет интенсивность . Требуется найти предельные вероятности состояний СМО, а также характеристики её эффективности:

L_сист – среднее число заявок в системе;

W_сист – среднее время пребывания заявки в системе;

L_оч - среднее число заявок в очереди;

W_оч - среднее время пребывания заявки в очереди;

P_зан - вероятность того, что канал занят ( степень загрузки канала ).

Решение. Состояния системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок в системе:

S₀ – в СМО канал свободен;

S₁ – в СМО канал занят, очереди нет;

S₂ – в СМО канал занят, одна заявка в очереди;

…………………………………………………………..

S_j – в СМО канал занят, ( j-1 ) заявок в очереди;

………………………………………………………….

Теоретически число состояний системы ничем не ограничено. Граф состояний имеет вид

Существуют ли в этом случае финальные вероятности? Предельные вероятности существуют не всегда, только тогда, когда система не перегружена. Посчитаем предельные вероятности системы по формулам схемы гибели и размножения

.

В нашем случае число слагаемых будет бесконечным. В скобках стоит геометрическая прогрессия. Только бесконечно убывающая геометрическая прогрессия имеет конечную сумму. Если ввести коэффициент загрузки системы ,то

.

В случае имеем .

Откуда сразу следует, что

. (2.1)

Вероятности P₁, P₂, P₃,...., P_j,…найдутся по формулам:

; ; ; ; ;…(2.2)

Эти вероятности образуют геометрическую прогрессию, с другой стороны должно выполняться равенство:

.

Найдём среднее число заявок L_сист в СМО. Случайная величина Z – число заявок в системе – имеет возможные значения: 0, 1, 2, 3,….,.j…. с вероятностями: Р₀, Р₁, Р₂, Р₃, ….., Р_j,….

.

Можно записать коротко

.

Представим , тогда

.

Вычислим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

,

.

Теперь можно получить окончательное выражение для

.

Итак, среднее число заявок в СМО вычисляется по формуле

. (2.3)

Применим формулу Литтла и найдем среднее время пребывания заявки в системе

.

Теперь вычислим среднее число заявок в очереди. Очевидно, среднее число заявок в очереди L_оч равно среднему числу заявок в системе L_сист минус L_обсл - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.

Число заявок под обслуживанием является случайной величиной, которая может принимать два значения: либо нуль, либо единица. Математическое ожидание такой величины равно

.

Итак, среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, равно

. (2.4)

Тогда . Среднее число заявок в очереди равно

. (2.5)

По формуле Литтла вычислим среднее время пребывания заявки в очереди

. (2.6)

Пример №4 Железнодорожная сортировочная горка, на которую подается простейший поток составов с интенсивностью 𝞴=3 состава в час, представляет собой одноканальную СМО с неограниченной очередью. Время обслуживания (роспуска) состава на горке имеет показательное распределение со средним значением τ=15 минут.

Найти: а) предельные вероятности состояний СМО;

б) среднее число составов, связанных с горкой;

в) среднее число составов в очереди;

г) среднее время пребывания состава в СМО;

д) среднее время пребывания состава в очереди.

Решение.

Железнодорожную сортировочную горку будем рассматривать как одноканальную СМО с неограниченной очередью. Интенсивность потока поездов состава в час. По условию время обслуживания одного состава на горке занимает в среднем τ=15 минут, то есть часа.

Интенсивность потока обслуживаний вычислим = состава в час.

а) Предельные вероятности существуют только тогда, когда система не перегружена, то есть когда коэффициент загрузки системы . В данной задаче <1, следовательно, предельные вероятности состояний системы существуют.

Состояния системы будем нумеровать по числу составов, поступающих на горку:

S₀ – горка свободена;

S₁ – горка занята, очереди нет;

S₂ – горка занята, один состав в очереди;

…………………………………………………………..

S_j – горка занята, ( j-1 ) составов в очереди;

………………………………………………………….

Предельная вероятность того, что система находиться в состоянии , вычисляется по формуле: , значит, .

Предельные вероятности состояний вычисляются соответственно по формулам:

; ; ; ; ;….

Следовательно, , ,

, , , ,

б) Среднее число составов, связанных с горкой, вычисляется по формуле:

состава.

в) Среднее число составов в очереди определяется формулой:

состава.

г) Среднее время пребывания состава в СМО:

час.

д) Среднее время пребывания состава в очереди:

час.