Формула Литтла.

Рассмотрим любую СМО и связанные с нею два потока событий: поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих СМО.

Если в системе установился предельный стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих её; оба потока имеют одну и туже интенсивность .

Обозначим: - число заявок, прибывающих в систему до момента ;

- число заявок, покинувших систему до момента . Обе функции являются случайными и изменяются скачком (увеличиваются на единицу) в моменты прихода и ухода заявок.

Для любого момента разность есть не что иное, как число заявок, находящихся в системе.

Рассмотрим большой промежуток времени T и вычислим среднее число заявок, находящихся в системе. Оно будет равно

,

где L_сист – среднее число заявок, находящихся в системе, обслуживаемых или стоящих в очереди. Этот интеграл равен площади заштрихованных фигур. Фигура состоит из прямоугольников ( высотой единица ), основание равное времени пребывания заявки в системе: первой, второй, третьей и т. д.

Обозначим эти промежутки времени через Можно считать

,

где k - число заявок, пришедших за время T. Тогда

.

Разделим и умножим правую часть на интенсивность , получим

.

Величина - среднее число заявок, поступивших за время . Если разделить сумму всех переменных на среднее число , то получим среднее время пребывания заявки в системе . Итак,

.

Из последнего равенства следует формула Литтла:

. ( 11 )

Формула Литтла гласит: среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, делённому на интенсивность потока заявок.

Точно также выводится вторая формула Литтла, связывающая среднее время пребывания заявки в очереди и среднее число заявок в очереди

. ( 12 )

Среднее время пребывания заявки в очереди системы равно среднему числу заявок в очереди системы, делённому на интенсивность потока заявок.

Простейшие системы массового обслуживания и их характеристики.

1. n - канальная СМО с отказами ( задача Эрланга ).

Рассмотрим одну из первых по времени классических задач теории массового обслуживания. Эта задача возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале прошлого века датским математиком Эрлангом. Задача ставится так:

Имеется n каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность (величина, обратная среднему времени обслуживания ).

Найти предельные вероятности состояний СМО, а также характеристики её эффективности.

Характеристики эффективности СМО:

А – абсолютная пропускная способность, то есть среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени.

Q –относительная пропускная способность, то есть вероятность обслуживания поступившей заявки.

P_отк - вероятность отказа, то есть вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена.

- среднее число занятых каналов.

Пока остановимся на этих характеристиках, так как выбор показателей эффективности зависит от типа СМО.

Решение задачи Эрланга. Состояние системы S (СМО) будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе ( в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов ).

S₀ – в СМО нет ни одной заявки;

S₁ – в СМО один канал занят, остальные свободны;

S₂ – в СМО два канала заняты, остальные свободны;

…………………………………………………………..

S_j – в СМО j- каналов заняты, остальные свободны;

………………………………………………………….

S_n – в СМО все n каналов заняты.

Систему массового обслуживания хорошо иллюстрирует граф состояний

Разметим этот граф – проставим у стрелок интенсивности потоков событий. Из S₀ в S₁ систему переводит поток заявок с интенсивностью ( как только приходит заявка, система перескакивает из S₀ в S₁). Аналогично, из S₁ в S₂ и так далее. Проставим интенсивности у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии S₁ (работает один канал). Он производит обслуживаний в единицу времени. Проставляем у стрелки S₁ S₀ интенсивность . Пусть система находится в состоянии S₂ (работают два канала). Чтобы система могла перейти в состояние S₁ нужно, чтобы либо закончил обслуживание первый канал, либо – второй; суммарная интенсивность двух каналов обслуживаний равна . Суммарный поток обслуживаний, создаваемый тремя каналами имеет интенсивность , j каналами - и так далее.

Граф состояний СМО соответствует схеме гибели и размножения.

Предельные вероятности в схеме гибели и размножения имеют вид:

.

, , , ,

.

Зная потоки интенсивностей в СМО, воспользуемся готовыми формулами для предельных вероятностей в схеме гибели и размножения, получим

;

; ; ; … ; … .

Обозначим . Будем называть - коэффициентом загрузки системы,

её смысл – среднее число заявок, приходящие за среднее время обслуживания одной заявки ( интенсивность нагрузки канала ).

Пользуясь этим обозначением, перепишем формулы в виде:

, ,

, , … , … . ( 1.1 )

Эти формулы называются формулами Эрланга – в честь основателя теории массового обслуживания.

Теперь можно вычислять характеристики эффективности СМО. Сначала найдём - вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ. Для этого нужно, чтобы все n каналов были заняты, значит

.

Теперь находим относительную пропускную способность – вероятность того, что заявка будет обслужена

.

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок на Q

.

Осталось определить среднее число занятых каналов . Эту величину можно определить как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями 0, 1, 2, 3,…,n и вероятностями этих значений P₀, P₁, P₂, P₃,…, P_n.

.

Если подставить сюда формулы Эрланга, то получим сложное выражение, которое потребует громоздких преобразований. Откажемся от этого пути. сделаем по другому.

Нам известна величина А – абсолютная пропускная способность, то есть среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени. Каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем заявок. Следовательно, среднее число занятых каналов равно

.

__________________________________________________________________

Пример №3 . АТС имеет k=5 линий связи. Поток вызовов простейший с интенсивностью вызовов в минуту. Среднее время переговоров составляет τ=3 минуты. Время переговоров распределено по показательному закону. Найти: а)вероятность того, что все линии связи заняты (вероятность отказа); б) абсолютную и относительную пропускные способности АТС; в) среднее число занятых линий связи. Определить сколько линий связи должна иметь АТС (оптимальное число линий связи), чтобы вероятность отказа не превышала 0,01?

Решение. Будем нумеровать состояния АТС по числу занятых линий связи: S₀ – все линии свободны, S₁ – одна линия занята, остальные свободны; S₂ – две линии заняты, остальные свободны;…… S₅ – все пять линий заняты.

В данном примере мы имеем дело с многоканальной СМО ( n=5 ) c отказами, так как если все пять линий связи заняты, то заявка получит отказ.

Находим интенсивность потока обслуживания разговора в минуту. Коэффициент загрузки СМО составляет

По формулам Эрланга вычисляем:

, .

Вероятность отказа . Находим относительную пропускную способность . Это вероятность того, что вновь поступившая заявка будет обслужена. Вычислим абсолютную пропускную способность системы , следовательно, система обслуживает в среднем 0,75 заявки в минуту. Теперь вычислим средне число занятых каналов , следовательно, АТС в среднем имеет половину линий связи постоянно занятыми.

Поскольку вероятность отказа Р_отк=0,062 превышает 0,01, то число линий связи следует увеличить. Допустим, что линий связи стало n=6. Тогда пересчитаем Р₀:

.

, .

При n=6 вероятность отказа 0,024 превышает 0,01. Значит, число линий надо увеличить. При n=7 получим

,

, ,

следовательно, при n=7 вероятность отказа не превышает 0,01.

Таким образом, для обеспечения требуемой вероятности отказов следует увеличить количество линий связи АТС до 7.

Пример №3 решен.