Элементы теории массового обслуживания.

Системы массового обслуживания будем коротко обозначать СМО. Примерами СМО могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, магазины, парикмахерские и т. д.

Каждая СМО состоит из какого-то числа обслуживающих единиц ( или « приборов » ), которые будем называть каналами обслуживания. Каналами могут быть: линии связи на АТС, рабочие точки, кассиры, продавцы, лифты, автомашины и др.

СМО могут быть одноканальными и многоканальными.

Системы массового обслуживания делятся на типы по ряду признаков: СМО с отказами и СМО с очередью. Например, СМО с отказами – АТС. СМО с очередью подразделяются на разные виды: с ограниченной и неограниченной очередью. СМО бывают отрытого типа и замкнутого типа. Например, СМО открытого типа: телефонные станции, билетные кассы, магазины и т. д. В открытой СМО поток заявок не зависит от того, в каком состоянии сама система; в замкнутой СМО - зависят. Например, ремонт станков осуществляет наладчик, поток заявок зависит от того, сколько их исправно и сколько ждёт наладки. Классификация СМО не ограничивается приведёнными разновидностями.

СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок, поступающих в случайные моменты времени. Процесс работы системы массового обслуживания представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Математический анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой работы – марковский. Для этого достаточно, чтобы все потоки заявок ( событий ), переводящие систему из одного состояния в другое состояние были простейшими.

Схема гибели и размножения

Термин « схема гибели и размножения » ведет начало от биологических задач, где численность популяции описывали схемой её изменения. Схема гибели и размножения очень часто встречается в теории массового обслуживания, поэтому полезно найти для неё предельные вероятности состояний.

Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид:

Составим уравнения Колмогорова.

Для состояния S₀: .

Для состояния S₁: ,

учитывая, что , получим .

Для состояния S₂: ,

учитывая, что , получим .

И вообще, для состояния S_j: ,

где j пробегает значения от 0 до (n-1).

Итак, финальные вероятности P₀, P₁, P₂,…, P_n удовлетворяют системе:

Кроме того, надо учесть, что .

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения следует

Из второго уравнения получим .

Из третьего уравнения получим .

И вообще, для любого j+1 уравнения - .

Таким образом, все предельные вероятности выражены через P₀

, , , ,…

. ( 9 )

Обратим внимание на последние записи. В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (сначала до состояния S_j ), а в знаменателе – произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево ( сначала до состояния S_j ).

Подставим предельные вероятности в равенство , получим: .

Отсюда получим выражение для P₀

. ( 10 )

Затем по формулам ( 9 ) легко вычислить P₁, P₂, P₃, , P_n-1, P_n.

Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.

__________________________________________________________________