26

Понятие простейшего потока событий.

Пусть имеется некоторая физическая система S, которая с течением времени меняет своё состояние, причем заранее неизвестном, случайным образом. Будем говорить, что в системе S протекает случайный процесс. Под « физической системой » можно понимать что угодно: техническое устройство, предприятие, живой организм, популяцию и т. д.

Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Если процесс марковский, то предсказывать можно учитывая настоящее состояние системы S₀ и забыв о поведении системы при . Само состояние S₀, разумеется, зависит от прошлого, но как только оно достигнуто, о прошлом можно забыть. В марковском процессе « будущее зависит от прошлого только через настоящее ».

Пример марковского процесса: система S – счётчик Гейгера, на который время от времени попадают космические частицы.

В математическом моделировании систем и процессов большое значение имеют так называемые марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S₁, S₂, S₃,∙∙∙, S_n можно перечислить и переход системы из одного состояния в другое состояние происходит « скачком », мгновенно.

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из одного состояния в другое не фиксированы, а неопределенны, случайны, переход может быть в любой момент времени.

Пример такого процесса: техническое устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайные моменты времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное случайное время. Возможные состояния системы можно перечислить:

S₀ – оба узла исправны,

S₁ – первый узел ремонтируется, второй исправен,

S₂ – второй узел ремонтируется, первый исправен,

S₃ – оба узла ремонтируются.

Построим граф состояний для рассматриваемого примера.

Стрелка из S₀ в S₁ означает переход в момент отказа первого узла; стрелка, направленная обратно, из S₁ в S₀ означает переход в момент окончания ремонта первого узла. Остальные стрелки объясняются аналогично.

Потоки событий.

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

Например: поток вызовов на телефонную станцию; поток железнодорожных составов; поток частиц, попадающих на счётчик Гейгера; и т, д. Важнейшей характеристикой потока событий является его интенсивность - среднее число событий, приходящихся на единицу времени.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность потока должна быть постоянной. На один промежуток времени может попасть больше событий, а на другой – меньше, но среднее число событий, приходящихся на единицу времени постоянно. Стационарность означает, что вероятность появления событий за время зависит лишь от длины интервала и не зависит от точки t отсчёта этого интервала.

Поток событий называется потоком без последействия ( отсутствие последействия ),если поступление заявки после момента времени t не зависит от того, когда и в каком количестве появлялись заявки до момента t.

То есть события появляются независимо друг от друга.

Поток событий называется ординарным, если события в нём появляются по одиночке, а не группами. Это условие означает, что одновременное появление двух и более событий маловероятно.

Поток событий называется простейшим ( или стационарным пуассоновским ), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название « простейший » связано с тем, что этот поток имеет наиболее простое математическое описание.

Можно показать, что для п р о с т е ш е г о потока вероятность появления ровно k событий за промежуток времени t вычисляется по формуле:

, ( 1 )

т.е. вероятности распределены по закону Пуассона с параметром .

Эта формула отражает все свойства простейшего потока.

. Положив k=0 и k=1, можем вычислить вероятности не появления и появления одного события:

, .

Пример №1 На АТС поступает простейший поток вызовов. Среднее количество вызовов в течение часа равно m=72. Найти вероятности того, что за t=2 минутам: а) не придет ни одного вызова; б) придет хотя бы один вызов; в) придет не менее k=4 вызовов.

Решение. Так как поток простейший, то вероятность появления ровно k событий за промежуток времени t вычисляется по формуле Пуассона: с параметром , где 𝞴 – интенсивность потока (среднее число вызовов, приходящихся на единицу времени). В нашей задаче вызова в минуту. Параметр .

а) Найдем вероятность того, что за t=2 минутам не придет ни одного вызова. Для этого в формуле Пуассона надо положить k=0, получим , так как (0)!=1 и . Тогда вероятность того, что за t=2 минутам не будет ни одного вызова равна . Далее вычисление выполняем с помощью таблицы значений .

Итак, вероятность того, что за t=2 минутам не придет ни одного вызова .

б) Найдем вероятность того, что за t=2 минутам придет хотя бы один вызов. Вероятность появления одного или более одного вызова вычислим через вероятность противоположного события (не придет ни одного вызова):

Подставив в эту формулу t=2 и , получим .

Итак, вероятность того, что за t=2 минутам придет хотя бы один вызов .

в) Найти вероятности того, что за t=2 минутам придет не менее k=4 вызовов. . Вероятность появления четырех и более четырех вызовов за время t вычислим также как вероятность противоположного события:

.

Вычислим , , .

Тогда .

Вероятность появления четырех и более четырех вызовов за время t=2

= .

Итак, вероятность того, что за t=2 минутам придет не менее k=4 вызовов .

Пример №1 решен.

Интервал времени между поступлениями двух последовательных событий является случайной величиной. Обозначим эту случайную величину через T ( Т=t_j+1-t_j ).

Найдем функцию распределения случайной величины T

,

где - вероятность того, что случайная величина Т примет значение, меньшее, чем t ; -вероятность противоположного события ( т.е. за время t не появилось ни одного события ). Согласно закону Пуассона ( 1 ) имеем

, ( 0!=1; t > 0 )

откуда

, ( t > 0 ). ( 2 )

Найдем плотность распределения случайной величины Т

( t > 0 ) ( 3 )

Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины Т имеют значения:

( 4 )

Таким образом, для простейшего потока с интенсивностью интервал времени Т между соседними событиями имеет так называемое показательное распределение с плотностью .

Показательным распределением описываются случайные величины в многочисленных задачах железнодорожного транспорта, элекротехники, радиосвязи, в теориях надежности, массового обслуживания, случайных процессов, например, время между прибытием поездов на сортировочные станции и отправления ми поездов со станций, время расформирования и формирования поездов, осмотра поездов бригадами техобслуживания, время ожидания в очереди, длительность телефонного разговора, время безотказной работы технического устройства и др.

Зная функцию , можно найти вероятность . Так как сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

,

то .

Итак, вероятность того, что случайная величина Т примет значение не меньшее t, вычисляется по формуле: .

Чтобы найти вероятность события, состоявшего в том, что случайная величина наблюдается на интервале от до , воспользуемся свойством функции распределения вероятностей:

.

В расчётах, связанных с потоками событий, очень удобно пользоваться понятием « элемент вероятности ». Рассмотрим на оси ot простейший поток событий с интенсивностью и произвольно расположенный элементарный ( очень маленький ) участок времени . Элементом вероятности называется вероятность попадания на участок хотя бы одного события потока. С точностью до бесконечно малых величин по сравнению с элемент вероятности равен

, ( 5 )

т. е. элемент вероятности равен интенсивности потока, умноженной на длину элементарного участка времени.