П.5. Свойства решений злп.
Свойства решений ЗЛП формулируются в виде теорем.
Теорема
1
(о
выпуклости области допустимых значений):
- множество планов ЗЛП, если оно не пусто,
является выпуклым
множеством.
(Это множество называется многогранником
планов, а всякая угловая точка многогранника
планов – его вершина).
.
. .
B 
G
A 
X
…
|
Напомним,
что множество
выпуклое, если |
.
Точка
-
угловая в том случае, когда не является
выпуклой линейной комбинацией различных
точек
Теорема 2 (о представлении): Любую точку многогранника планов можно представить как выпуклую линейную комбинацию его угловых точек:
,
,
точки
-
угловые.
Чтобы
сформулировать следующую теорему,
записывают каноническую ЗЛП в векторной
форме. Цель задачи можно записать в виде
скалярного произведения векторов цен
и вектора неизвестных
:
.
и Система ограничений канонической ЗЛП
преобразуется после введения векторов
и
к векторному уравнению:
.
Таким образом, формулируется ЗЛП:
Теорема
3
(о
структуре координат угловой точки
многогранника планов):
Если система векторов
содержит
базис, то есть m
линейно-независимых векторов, то
допустимый план
является угловой точкой многогранника
планов.
Угловая точка с неотрицательными координатами (как и базисное решение) называется опорной, а соответствующий план – опорным. Опорный план называется невырожденным, если он содержит ровно m положительных компонентов, и вырожденным, если их меньше m.
И
так,
геометрически: любое опорное решение
является угловой точкой
любая угловая точка
является опорным решением.
Базис
ранг
Теорема
4
(основная
теорема ЛП):
Если ЗЛП имеет решение, то целевая
функция
достигает
экстремального значения хотя бы в одной
из угловых точек многогранника решений
.
Если же целевая функция достигает
экстремального значения более чем в
одной угловой точке
,
то она достигает того же значения в
любой точке, являющейся их выпуклой
линейной комбинацией:
,
).
П.6. Симплекс-метод решения злп
Симплекс-метод – это аналитический способ решения ЗЛП, основанный на переходе от одного базисного решения к другому, лучшему, обеспечивающему большее (меньшее) значение целевой функции в ЗЛП на максимум (минимум).
Оптимальное
решение ЗЛП находится в одной из угловых
точек многогранника решений. В небольшой
задаче можно просто найти их все,
вычислить значения функции цели в каждой
точке, и затем выбрать наибольшее
(наименьшее). Но при больших значениях
m
и n
найти все угловые точки практически
невозможно, поэтому формулируется
задача рационального перебора угловых
точек: если есть какая-либо угловая
точка
и
,
то все угловые точки, в которых целевая
функция принимает меньшее значение, не
нужны. Значит, нужен способ перехода от
данной угловой точке к смежной по ребру
лучшей, от нее еще к лучшей и т.д. Чтобы
знать, где закончить, надо иметь признак
того, что лучших точек нет. Итак,
симплексный метод предполагает:
- умение находить начальный опорный план;
- наличие признака оптимального опорного плана;
- умение переходить к не худшему опорному плану.
Для того чтобы ЗЛП можно было решать симплексным методом она должна быть записана в канонической форме:
с
дополнительным ограничением
.
Если система ограничений приведена к единичному базису, то начальный опорный план находится сразу же. Если базиса в системе ограничений нет, то его надо получить, используя преобразования Жордано-Гаусса (симплексные преобразования) с учетом дополнительных условий .
Правило «прямоугольника» (метод Жордана-Гаусса), где l – разрешающая строка, а k–разрешающий столбец:
-
элементы разрешающей строки
«+»
«-»
разрешающая строка
разрешающий столбец (после преобразований столбец станет единичным)
Рисунок 6. Схема применения «правила прямоугольника»
Пусть в системе ограничений имеется единичный неотрицательный базис (при неотрицательной правой части). В этом случае свободные переменные приравнивают к нулю, тогда базисные переменные будут равны свободным членам системы ограничений.
Пример
12.
,
где
Здесь
переменные
,
,
образуют базис, а
и
-
свободные. Начальный опорный план в
примере:
.
2.
Если в ЗЛП система ограничений имеет
вид:
Записывают
ЗЛП в канонической форме, добавив к
левым частям ограничений дополнительные
переменные
,
и получают 1-й случай.
Пример
13.
В
ведем
дополнительные (балансовые) неотрицательные
переменные
,
,
так, чтобы каждое из неравенств в системе
ограничений обратилось в равенство.
Система ограничений будет выглядеть
так:
.
Начальный
опорный план
.
3. Если система ограничений дана в канонической форме, но базиса в ней нет или система ограничений имеет вид: ,
вводят искусственный базис (переходят к М-задаче)
Решение
задачи линейного программирования
(ЗЛП) удобно оформить в виде симплекс-таблицы
(рис.7),
в которую записывают как исходные данные
задачи, так и оценочные строку
и столбцы
,
позволюющие сделать вывод об оптимальности
записанного в таблице плана или
возможностях улучшить его.
Теорема 1. Если в задаче линейного программирования на максимум (минимум) хотя бы для одного вектора условий оценка разложения по базису невырожденного опорного решения отрицательная (положительная), то опорное решение может быть улучшено, т.е. можно найти новое опорное решение, на котором значение целевой функции будет больше (меньше).
Следствие 1. Наибольшее изменение целевой функции при переходе от одного опорного решения к другому обеспечивает выбор векторов, выводимого из базиса опорного решения и вводимого в базис, исходя из условий:
-
в задаче на максимум
-
в задаче на минимум:
(или
Следствие 2. Опорное решение задачи линейного программирования на максимум (минимум) является оптимальным, если для любого вектора условий оценка разложения по базису опорного решения неотрицательная (неположительная), т.е.:
-
в задаче на максимум:
-
в задаче на минимум:
Следствие 3. Оптимальное решение задачи линейного программирования является единственным, если для любого вектора условий, не входящего в базис, оценка отлична от нуля.
Следствие 4. Задача линейного программирования имеет бесконечное множество оптимальных решений, если оценка хотя бы одного вектора условий, не входящего в базис, равна нулю.
Следствие
5.
Задача линейного программирования не
имеет решения
ввиду неограниченности
целевой функции,
если для какого-либо из векторов-условий
с оценкой
,
противоречащей признаку оптимальности,
среди коэффициентов разложения по
базису опорного решения нет положительного.
Теоремы симплекс-метода
|
||
Вид ЗЛП |
|
|
Критерий оптимальности |
|
|
Критерий выбора разрешающего элемента |
|
|
|
|
|
Единственность оптимального решения |
свободные переменные |
|
Альтернативный оптимум |
Б:
|
|
Неограниченность целевой функции |
|
|
если
,
то ЗЛП – вырожденная (
БАЗИС
Б |
|
|
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
… |
|
… |
|
max |
|
|||||||||||||||
|
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
… |
|
… |
|
B
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
0 |
… |
0 |
… |
0 |
|
… |
|
… |
|
… |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
0 |
1 |
… |
0 |
… |
0 |
|
… |
|
… |
|
… |
|
|
|
|||||||||||||||
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|||||||||||||||
|
|
0 |
1 |
… |
0 |
… |
0 |
|
… |
|
… |
|
… |
|
|
|
|||||||||||||||
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
… |
1 |
… |
0 |
|
… |
|
… |
|
… |
|
|
|
|||||||||||||||
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
… |
0 |
… |
1 |
|
… |
|
… |
|
… |
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
0 |
… |
0 |
… |
0 |
|
… |
|
… |
|
… |
|
|
|
||||||||||||||||
=
прирост целевой функции если ввести в базис, а вывести из базиса.
оценка разложения вектора по Б:
вычисляется
для столбца
,
в котором
для
не рассчитывается
Рисунок 7. Схема симплекс-метода
п.7. М-метод (метод искусственного базиса)
М-метод (метод искусственного базиса) применяют для решения ЗЛП в том случае, когда при переходе к ЗЛП в канонической форме не появляется естественный базис (как это бывает в задачах, поставленных в симметричной форме).
Правила постановки М-задачи |
||
|
|
Исходная ЗЛП |
|
|
|
|
|
Расширенная М-ЗЛП |
|
|
|
Базис
М-ЗЛП образуют векторы:
опорные
решения M-задачи.
Пример 14 (постановка М-задачи):
F(X) =3x1+2x2-3x3→min(max)
Каноническая форма ЗЛП:
F(X) =3x1+2x2-3x3→min (max)
Легко
заметить, что при переходе к канонической
форме ЗЛП появилась только одна
естественная
базисная
и
для применения симплекс-метода к решению
задачи необходимо введение искусственных
базисных переменных
:
«естественная» переменная, появившаяся в задаче при переходе к канонической форме
Базис
Искусственные переменные
Ограничения М-задачи, построенной на основе исходной ЗЛП примут вид:
После того, как введены все необходимые естественные и искусственные базисные переменные, составляют целевую функцию задачи:
F’(X) = 3x1+2x2-3x3 → min
(1a)
-
появились при переходе
к каноническому виду
искусственные переменные
Если целевая функция максимизировалась, получим M-задачу в виде:
F’(X) = 3x1+2x2-3x3 → max
-
появились при переходе
к каноническому виду
и скусственные переменные
