Задача о раскрое материалов
Пусть для изготовления нужных заготовок материал может быть раскроен несколькими способами. Пусть при j-м варианте раскроя изготовляется заготовок i-го вида , а величина отходов составит . Известно также, что количество заготовок i-го вида должно быть равно . Требуется так раскроить материал, чтобы получить необходимое количество заготовок при минимальных его расходах.
Пусть , - план производства, показывающий, какое количество материалов следует раскроить по j-му способу, чтобы обеспечить минимальные объемы отходов при раскрое.
Общая
величина отходов составит
.
Поскольку при раскрое по -му варианту
получают
заготовок
-го
вида, а их количество известно, то
ограничения-равенства задачи имеют
вид:
.
Модель задачи имеет вид:
П.2. Основные понятия линейного программирования
Линейное пространство – множество элементов (векторов или точек), для которых заданы операции сложения и умножения на действительное число, не выводящие за пределы этого множества.
Например,
– есть множество точек плоскости, или
иначе, множество двумерных радиус-векторов
,
концы которых находятся в точке
.
Вектора пространства
обозначаются:
,
,
,
... ,
.
Вектор
- линейная
комбинация векторов
,
,
... ,
с коэффициентами
.
Система
векторов
,
,
... ,
линейного пространства
называется линейно-зависимой,
если существуют
,
не все равные нулю, такие что
,
и линейно-независимой,
если
только если все
.
Максимально
возможное число векторов
,
которые могут образовывать
линейно-независимую систему векторов
в данном линейном пространстве называют
размерностью
пространства (
).
Любую систему
линейно-независимых векторов в этом
пространстве
называют базисом
пространства
.
Множество
точек линейного пространства
называется выпуклым,
если
оно вместе с любыми своими двумя точками
содержит и весь отрезок прямой,
соединяющий
эти точки (то есть, если
и
,
то
,
где
).
Для нескольких точек определение даётся
так: точка
называется выпуклой
линейной комбинацией точек
,
,...
,
,
если
,
для
a
).
Пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.
Среди точек выпуклого множества различают внутренние, граничные и угловые. Точка выпуклого множества называется внутренней, если в некоторой ее окрестности содержатся только точки данного множества. Точка выпуклого множества называется граничной, если в некоторой ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и не принадлежащие ему. Точка выпуклого множества называется угловой, если она не является внутренней ни для какого отрезка целиком принадлежащего данному множеству.
Множество точек называется замкнутым, если оно включает в себя все свои граничные точки. Множество точек называется ограниченным, если существует круг (шар) конечного радиуса с центром в любой точке множества, который полностью содержит в себе данное множество.
Выпуклое замкнутое множество точек линейного пространства называется выпуклым многогранником, если оно ограничено, и выпуклой многогранной областью, если оно не ограничено.
п.3. Формы записи задачи линейного программирования (ЗЛП),
их эквивалентность и способы преобразования.
Различают три вида записи задачи линейного программирования (ЗЛП):
- общая ЗЛП;
- симметричная (стандартная) ЗЛП (рис.1.);
- каноническая ЗЛП (рис.2.).
Эти формы записи эквивалентны - каждая из них с помощью несложных преобразований может быть сведена к другой форме.
С
ограничения-неравенства
имметричная ЗЛП
,
целевая функция
условия неотрицательности
Рисунок 1. Общий вид симметричной ЗЛП
Канонический вид ЗЛП
(1)
;
(2)
(3)
Запишем модель канонической ЗЛП в терминах линейной алгебры.
(1)
- линейная целевая функция, предстваляет собой скалярное произведение векторов
и
где
.
,
Рисунок 2. Эквивалентные матричная и векторная запись системы ограничений (2):
(2)
– линейные ограничения-равенства.
(3)
– условия неотрицательности.
Переменные
в левой части ограничений равенств (2)
делятся на два типа: базисные и свободные.
Чаще всего векторы
при базисных переменных – единичные,
а при свободных переменных – произвольные.
Базис
ранг
Рисунок 3. Типы переменных в ограничениях - равенствах ЗЛП
-
базисное
решение
базисные переменные
«cвободные» переменные
Рисунок 4. Вид базисного решения.
-
решение (план) допустимое,
если удовлетворяет условиям-ограничениям
(2) - (3).
-
опорное
решение (план)– базисное неотрицательное
решение