Введение в исследование операций

Учебное пособие ставит своей целью помочь в изучении способов построения математических моделей явлений и процессов различной природы, их анализе и прогнозировании на их основе. В нескольких главах рассмотрены основные задачи линейного и нелинейного программирования, основы матричных игр и сетевого планирования. Для продуктивного изучения курса необходимо знание линейной алгебры, математического анализа и теории вероятностей.

Основные понятия

Операцией называется – любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели. Ее результат зависит от выбора набора параметров (например, способа проведения). Всякий определенный набор параметров называется решением; оптимальным считают то решение, которое по тем или иным причинам предпочтительнее других.

Цель исследования операций – количественное обоснование принимаемых решений по организации управления.

Для получения количественных результатов необходимо построить математическую модель задачи (ММЗ), то есть отражение операции в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т.п. Математическая модель включает в себя:

1. совокупность переменных , действуя на которые (т.е. перебирая их различные значения) оптимизируют решение;

2. целевую функцию (иначе критерий оптимальности или функцию цели) (это может быть прибыль, издержки обращения, затраты производства, количество отходов и т.п.). Целевая функция позволяет выбрать наилучший вариант из множества возможных. Наилучший вариант дает целевой функции экстремальное значение ;

3. систему ограничений (условия, налагаемые на неизвестные величины, которые задаются в виде неравенств и уравнений).

I раздел. Линейное программирование

Если в математической модели целевая функция и функции , входящие в систему ограничений, линейны относительно переменных , то такой раздел исследования операций называют линейным программированием.

П.1. Примеры постановки задач линейного программирования.

1. Задача о наилучшем использовании ресурсов.

Пусть предприятие может выпускать n различных видов продукции . Производство этих видов продукции ограничено имеющимися видами ресурсов . Запасы ресурсов ограничены и их количества равны, соответственно: .

Известна экономическая выгода производства продукции каждого вида (это может быть отпускная цена товара, его прибыльность, издержки производства). Пусть, например, цена реализации равна .

Таким образом, заданы - вектор ресурсов и , - вектор цен. Известны также технологические коэффициенты , которые показывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы продукции j-го вида. Матрица , которую они образуют - технологическая матрица.

Пусть , - план производства, показывающий, какие виды товаров и в каких количествах нужно производить, чтобы обеспечить максимум объема реализации при имеющихся ресурсах.

Модель задачи имеет вид:

2. Задача о смесях (о диете).

Пусть имеется n различных видов продуктов . Требуется составить минимальный по стоимости рацион питания, удовлетворяющий требованиям питательности (содержать физиологически необходимое количество питательных веществ).

Известно минимальное количество каждого из питательных веществ (белки, углеводы, жиры и т.п.) рациона и количество этих веществ в единице питательного продукта (злаки, молоко, рыба и т.п.) составляет . Стоимость единицы каждого продукта равна .

Пусть , - количество продуктов , составляющих рацион, чтобы обеспечить минимум его стоимости при обеспечении необходимой питательности.

Модель задачи имеет вид: