2.4.Понятие о булевых функциях и способах их задания.Основные операции алгебры Буля.Функционально полные системы булевых функций.

Для формального описания узлов ЭВМ при их анализе и синтезе используется аппарат алгебры логики. Основные положения алгебры логики разработал в XIX в. английский математик Джордж Буль. Алгебру логики называют также булевой алгеброй. В булевой алгебре различают двоичные переменные и булевы функции. Двоичные переменные могут принимать два значения: 0 и 1. Они называются также логическими или булевыми переменными и обозначаются символами x₁, x₂, x₃,… Булевы функции зависят от двоичных переменных. Они, как и аргументы, могут принимать лишь два значения: 0 или 1. Булевы функции называют также логическими или переключательными функциями.  Булевы функции принято задавать таблицами истинности, в которых для всех наборов переменных указываются соответствующие им значения булевых функции. Формирование значений в таблице истинности выполняется в соответствии с логикой работы устройства (сумматора, сдвигателя, преобразователя кодов и т. д.)

Операции алгебры Буля.

Логическое умножение (операция "И").Произведение двух высказываний считается истинным (равным 1), тогда, и только тогда, когда оба сомножителя истинны, и ложным (равным 0), если хоть один из сомножителей ложен. Согласитесь, что эти правила не противоречат здравому смыслу, и, кроме того, они полностью соответствуют правилам элементарной алгебры:1*1 = 1, 1*0 = 0 = 0*1 = 0, 0*0 = 0.Первое равенство читается так: если и А и В истинны, то произведение А*В истинно. В алгебре Буля знак умножения (*) заменяет союз И.Логические произведения могут включать не два, а большее число высказываний — сомножителей. И в этом случае произведение бывает истинным только тогда, когда одновременно истинны все высказывания-сомножители.Логическое сложение (операция "ИЛИ") Если два высказывания соединить союзом ИЛИ. то образованное сложное высказывание называется логической суммой.Как и всякое сложное высказывание, сумма двух высказываний А и В может быть истинной или ложной. Сумма считается истинной, то есть равной единице, если хоть одно из слагаемых истинно:А + В = 1, если ИЛИ А = 1 ИЛИ В = 1, что согласуется с обычной арифметикой:1+0 = 0+1 = 1.Если оба складываемых высказывания истинны, то сумма считается также истинной, поэтому в алгебре Буля имеем: (1) + (1) = 1.Скобки здесь поставлены для того, чтобы подчеркнуть условный, смысл этого сложения, а не арифметический.Сумма двух высказываний считается ложной и равной нулю тогда, а только тогда, когда оба слагаемых ложны. Отсюда:0 + 0=0.Итак, сумма двух высказываний А + В считается истинной, если истинно ИЛИ А, ИЛИ В, ИЛИ оба слагаемых вместе. Таким образом, слово ИЛИ обозначается знаком +.Операция отрицания — НЕ.Для каждого высказывания А существует его отрицание НЕ А, которое мы будем обозначать символом /А. Это ни у кого не должно вызывать сомнения. Если высказывание А истинно, то есть А = 1, то его отрицание /А обязательно должно быть ложно /А = 0. И наоборот, если какое-либо высказывание ложно, то его отрицание истинно.Определяя смысл действия отрицания, и полагая, что из двух высказываний А и /А всегда одно истинно, следуют две новые формулы алгебры Буля:А + (/А) = 1 и А* (/А) = 0.Имеются еще и другие формулы, упрощающие логическую обработку высказываний. Например, 1+А = 1, так как, согласно определению сложения, в случае, когда одно слагаемое равно единице, сумма всегда равна единице. Полученный результат не зависит от того, будет ли А = 0 или А = 1.

 

Отрицание, дизъюнкция и конъюнкция образуют полную систему булевых функций

 

Этот набор булевых функций наиболее удобен для построения сложных булевых функций и чаще всего используется в приложениях, однако он не является минимальным и может быть еще сокращен.Полная система булевых функций называется базисом, если она перестает быть полной при удалении хотя бы одной из этих функций.Конъюнкцию в булевой функции можно заменить на дизъюнкцию и отрицание, а дизъюнкцию – на конъюнкцию и отрицание. Следовательно, отрицание и дизъюнкция (отрицание и конъюнкция) также образуют полную систему булевых функций

Конъюнкция - это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложеное выражение ложно. Обозначение: F = A & B

Дизъюнкция - это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выраженныя ложны. Обозначение: F = A + B.

Инверсия(отрицание) - это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.