2.2 Экономико-математические задачи и методы их решения

К экономико-математическим задачам будем относить задачи, имеющие экономическую сущность и требующие для своего решения разработки и применения серьезного математического аппарата: математического программирования, методов оптимизации на графах, математической статистики, комбинаторики и др. Обычно это оптимизационные, прогнозные задачи, задачи статистического анализа – те задачи, в которых находятся оптимальные значения параметров различных управляемых экономических объектов в соответствии с заданными критериями, выявляются зависимости характеристик экономических объектов.

В условиях рыночных отношений среди множества возможных вариантов решения реальных задач приходится отыскивать наилучшие в некотором смысле при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. При современных масштабах производства даже незначительные ошибки оборачиваются громадными потерями. В связи с этим возникла необхо­димость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций и систем математические методы и современную вычислительную технику. Такие методы объединяются под общим названием — математическое программирование.

Математическое программирование - область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограниче­ниями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Функцию, экстремум которой нужно найти, называют целевой или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель /23/.

Математическая модель задачи — это отображение оригинала в виде количественных соотношений, функций, уравнений, неравенств, формул и т. д. Модель задачи математического программирования включает:

- совокупность неизвестных величин ах = {x_1, ..., х_j, ...;x_n}, изменяя которые, системой можно управлять. Их называют вектором управления (планом задачи, решением, стратегией, поведением и др.);

- целевую функцию (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал зада­чи и др.). Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант из множества возможных. Целевую функцию обозначим буквой Z (Z=z(x)). По содержанию это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, количество отходов и т. д.;

- условия (или систему ограничений), налагаемые на неизвестные величины. Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Ограниченными являются материальные, финансовые, трудовые ресурсы, возможности технологического, научного потенциала. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (область экономических возможно­стей). Объединение всех условий (ограничений), налагаемых на неизвестные (искомые) величины х_j задачи, обозначим буквой Q (xQ). Модель задачи математического программирования примет вид max (min) Z=z(х), хQ.

В развернутом виде: найти план х=(х₁; ...; х_j; ...;x_n), доставляющий экстремальное значение целевой функции Z, т. е.

max (min) Z=z(x1, ..., х_j, ..., x_n)

при ограничениях

_i(х₁, ..., x_j .... x_n) {, =, }b_i (i=1, m).

Из экономических или других соображений на план задачи налагаются условия неотрицательности

x_j  0, jQ₁ Q,

иногда – целочисленности.

План х, удовлетворяющий системе ограничений зада­чи, называется допустимым (хQ). Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, на­зывается оптимальным. Оптимальный план будем обозна­чать х*, экстремальное значение функции цели — z(x*) = Z*. Оптимальное решение, вообще говоря, не обяза­тельно единственно, возможны случаи, когда оно не су­ществует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений.

В зависимости от особенностей целевой функции z(х) и функций, задающих ограничения _i(х), задачи математического программирования делятся на ряд типов.

Если целевая функция Z = z(х) и функции _i(х) (i=1, m), входящие в систему ограничений, линейны (первой степени) относительно входящих в задачу неиз­вестных х_j, то такой раздел математического программи­рования называется линейным программированием (ЛП). Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполните­лям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспек­тивного, текущего и оперативного планирования и управ­ления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах раз­вития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т. д. Особенно широкое применение методы и модели линейного програм­мирования получили при решении задач экономии ресур­сов .

При более глубоком исследовании в ряде задач появляются и нелинейные зависимости, когда с изме­нением одного элемента другие изменяются непропорцио­нально первому. Если в задаче математического программирования це­левая функция z(x) и (или) хотя бы одна из функций системы ограничений _i(х) нелинейна, то такой раздел называется нелинейным программированием (НЛП). Ме­тоды и модели нелинейного программирования могут при­меняться при решении перечисленных выше задач, когда хотя бы одна из функций z(х), _i(х) нелинейна. Кроме того, методы НЛП получили широкое применение при ра­счете экономически выгодных партий запуска деталей в производство, при определении экономически выгодной партии поставки, поставочного комплекта, размеров запа­сов, распределении ограниченных ресурсов, размещении производительных сил, в тарном хозяйстве, при решении многих производственно-экономических задач и т. д.

Если на все или некоторые переменные x_j наложено условие дискретности, например целочисленности (x_j = 0, 1, 2...), то такие задачи рассматриваются в разделе дискретного программирования, в частности целочисленного (ЦП), программирования. Методами ЦП решается широкий круг задач опти­мизации комбинаторного типа, с логи­ческими условиями, с разрывной целевой функцией и т. д. В частности, задачи выбора (о назначениях), о маршрутизации (ком­мивояжера), теории расписаний, о контей­нерных перевозках (о рюкзаке), комплектных поставок и комплектования, размещения производственно-склад­ской структуры и т. п.

Если параметры целевой функции и системы ограничений изменяются во времени или целевая функция имеет аддитивный либо мультипликативный вид или сам процесс выработки решения имеет многошаговый характер, то такие задачи относятся к задачам динамиче­ского программирования (ДП). Методами ДП могут ре­шаться задачи текущего и перспективного планирования, управления производством, поставками и запасами в усло­виях изменяющегося спроса, размещения капитальных вложений, замены оборудования, обновления и восстановления эле­ментов сложных человеко-машинных организационных си­стем и т. д.

В указанных разделах математического про­граммирования предполагается, что вся информация о протекании процессов заранее известна и достоверна. Та­кие методы оптимизации называются детерминированны­ми или методами обоснования решений в условиях опре­деленности.

Однако если параметры, входящие в огра­ничения задачи или в функцию цели являются случайными, если приходится принимать решения в условиях риска, неполной или недостоверной информа­ции, то говорят о проблеме стохастической оптимизации, а соответствующий раздел математического программирования называется стохастическим программированием (СП). К нему в первую очередь сле­дует отнести методы и модели выработки решений в усло­виях конфликтных ситуаций (математическая теория игр), в условиях неполной информации (экспертные оценки), в условиях риска (статистические решения) и др. Кроме того, существуют другие типы задач, учитывающие специфику целевой функции и системы ограничений, в связи с чем имеются параметрическое, дробно-линейное, блочное, се­тевое (потоковое), многоиндексное, булевское, комбина­торное и другие типы программирования. Специфика задач породила квадратичное, биквадратичное, сепарабельное, выпуклое и другие типы нелинейного программирования. Появились численные методы отыска­ния оптимальных решений: градиентные, штрафных и барьерных функций, возможных направлений, линейной аппроксимации, случайного поиска и др.

К математическому программированию относятся так­же методы решения экстремальных задач с бесконечным числом переменных — бесконечномерное программиро­вание.

Задачи математического программирования с одной целевой функцией решаются ме­тодами скалярной оптимизации. Нередко приходится одновре­менно учитывать несколько целевых функций, которые должны принимать экстремальные значения. Например, дать продукции больше, высокого качества и с минималь­ными затратами. Задачи, где находят решение по несколь­ким целевым функциям, относятся к векторной оптими­зации — это задачи многокритериального подхода.

Рассмотрим для примера задачу о наилучшем использовании ресурсов.

Пусть некоторая производственная единица (цех, завод, объеди­нение и т. д.), исходя из конъюнктуры рынка, технических или технологических возможностей и имеющихся ресур­сов, может выпускать п различных видов продукции (то­варов), известных под номерами, обозначаемыми индек­сом j. Ее будем обозначать П_j. Предприятие при производстве этих видов продукции должно ограни­чиваться имеющимися видами ресурсов, технологий, дру­гих производственных факторов (сырья, полуфабрикатов, рабочей силы, оборудования, электроэнергии и т. д.). Все эти виды ограничивающих факторов называют ингредиентами R_i. Пусть их число равно т; припишем им индекс i. Они ограничены, и их количества равны соответственно b₁, ..., b_i, ..., b_m условных единиц. Таким обра­зом, b=(b₁; ...; b_i; ...; b_m) —вектор ресурсов. Известна экономическая выгода (мера полезности) производства продукции каждого вида, исчисляемая, скажем, по отпуск­ной цене товара, его прибыльности, издержкам произ­водства, степени удовлетворения потребностей и т. д. При­мем в качестве такой меры, например, цену реализации c_j ,т. е. c=(с₁; c₂; ...; с_j ...; с_n)— вектор цен. Известны также технологические коэффициенты а_ij, кото­рые указывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства единицы продукции j-го вида. Матрицу коэффициентов а_ij называют технологической и обо­значают буквой A .Имеем A=[а_ij]. Обозначим через х=(x₁; ...; x_j ...; x_n) план производства, показывающий, какие виды товаров П₁, ..., П_j ..., П_n нужно произво­дить и в каких количествах, чтобы обеспечить предприя­тию максимум объема реализации при имеющихся ре­сурсах.

Так как с_j — цена реализации единицы j-й продукции, цена реализованных х_j единиц будет равна с_jх_j, а общий объем реализации

Z = c₁x₁+...+c_nx_n.

Это выражение — целевая функция, которую нужно мак­симизировать.

Так как а_ijх_j — расход i-го ресурса на производство х_j единиц j-й продукции, то, просуммировав расход i-го ресурса на выпуск всех п видов продукции, получим общий расход этого ресурса, который не должен превосхо­дить b_i единиц:

a_i1x₁+ … +a_ijx_j+ … +a_inx_nb_i.

Чтобы искомый план х = (х₁; x₂; ...; х_j; ...; x_n) был реа­лен, наряду с ограничениями на ресурсы нужно наложить условие неотрицательности на объемы х выпуска про­дукции: x_j0 .

Таким образом, модель задачи о наилучшем исполь­зовании ресурсов примет вид: найти max Z при ограничениях на неизвестные и при этом требуется неотрицательность неизвестных.

Так как переменные х_j входят в функцию z(х) и систе­му ограничений только в первой степени, а показатели а_ij, b_i, с_j являются постоянными в планируемый период, то задача становится задачей линейного программирования.

Другой математической теорией, в которой разработаны методы и алгоритмы решения многовариантных задач является теория графов. В ней управляемый объект представляется в виде графа, а нахождение оптимальных параметров управления производится с помощью различных методов и алгоритмов на графах.

Графом G называется совокупность множества точек или вершин и множества линий, соединяющих между собой все или части этих точек. Множество вершин графа G обозначим через Х = {х₁,…,х_n}, а множество линий обозначим через А = {а₁,…,а_m}. Граф G полностью задаётся парой (Х,А). Если линии из множества А имеют направление, то они называются дугами, иначе- рёбрами.

Граф, имеющий только дуги, называется ориентированным; граф имеющий только ребра называется неориентированным; граф, имеющий дуги и ребра называется смешанным.

Путь в ориентированном графе - последовательность дуг такая, что конечная вершина одной дуги является начальной вершиной другой, за исключением первой и последней вершины пути.

Многие экономические задачи могут быть решены в графовой постановке и решены с помощью того или другого метода или алгоритма теории графов. Имеются эффективные методы и алгоритмы нахождения кратчайших путей, кратчайших остовов в графе, решения задачи коммивояжера, нахождения эйлерова цикла, задачи о покрытии и раскраске, других задач. Практически любая из реальных экономических задач, требующих оптимального решения в соответствии с теми или иными критериями может быть сведена к какой- либо задаче теории графов и решена ее методами.

При исследовании экономических процессов широко используются эконометрические методы, в которых результаты теоретического анализа экономики синтезируются с выводами математики и статистики. Основу аппарата исследования составляют такие разделы математической статистики, как корреляционный, факторный и регрессионный анализ.

Главным инструментом исследования служит эконометрическая модель, т.е. экономико-математическая модель регрессионного анализа, параметры которой оцениваются средствами математической статистики. Эта модель выступает в качестве средства анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов на основе реальной статистической информации.

В настоящее время существует множество методов регрессионного анализа, такие как метод наименьших квадратов, метод Брандона, позволяющие моделировать статистические зависимости между двумя или несколькими переменными. Различные методы множественной линейной, пошаговой и фиксированной нелинейной регрессии (в частности, полиномиальной, экспоненциальной, логарифмической) реализованы в одной из наиболее признанных в мировой практике статистических систем "STATISTICA", работающей в среде "WINDOWS".

Система "STATISTICA" позволяет строить произвольную регрессионную модель, либо задаваемой некоторой алгебраической формулой, либо по простому выбору обычных нелинейных регрессионных моделей представленных в модуле.

Моделирование экономических процессов независимо от подхода включает ряд следующих обязательных этапов.

Этап 1. Обоснование теоретических предположений, являющихся исходными для исследования. Такая теория, как правило, основывается на результатах предшествующих исследований, но может дополняться и изменяться в зависимости от результатов данных исследований.

Этап 2. Построение системы показателей, адекватно отображающих экономическое развитие исследуемого объекта. Каждый из показателей должен иметь экономическое содержание, отражать конкретный процесс и быть количественно измеримым. Всю совокупность показателей можно разделить на две основные категории:

- аналитические, отражающие сложившиеся тенденции и соотношения;

- прогнозные, относящиеся к предвидимым в будущем процессам и явлениям.

Часть показателей носит качественный характер, и их количественное измерение затруднено. Тем не менее, если существует явление или процесс, то объективно должны существовать и адекватно отображающие их показатели.

Этап 3. Разработка системы моделей, отображающей развитие отдельных сторон и показателей исследуемого объекта, а также взаимосвязей между показателями. Модели экономического процесса можно классифицировать на аналитические, прогнозные, принятия решений и управления.

Аналитические и прогнозные модели по содержанию являются вероятностными моделями, поскольку описываемые ими процессы носят вероятностный, а не детерминированный характер.

Модели принятия решений и управления более детерминированы по сравнению с аналитическими и прогнозными моделями и по экономическому и математическому содержанию являются моделями оптимального программирования.

Этап 4. Сбор и обработка информации, применяемой для построения аналитических и прогнозных моделей, которую можно разделить на две категории: первичную, или исходную (обычно используются статистические данные) и производную, вырабатываемую самими моделями.

Развитие и изменение экономических процессов во времени наиболее полно отражают временные ряды, содержащие последовательные значения (уровней) показателей, характеризующих состояние процесса в определенные, как правило, равноотстоящие друг от друга, моменты времени. Особенность динамики экономических процессов является то, что в подавляющем большинстве случаев каждый его показатель определен только одним временным рядом, только одной реализацией с ограниченным числом точек. Поэтому использование для анализа экономических процессов хорошо развитой математической теории случайных процессов ограничено.

Значение уровней временных рядов экономических показателей складывается из следующих компонент: сезонной, циклической, случайной (нерегулярной) и тренда.

Из перечисленных составляющих уровней временного ряда наиболее важной является тренд, под которым понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного периода времени.

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах экономических процессов часто имеют место более или менее регулярные колебания. Если эти колебания носят строго периодический или близкий к ним характер и завершаются в течение одного года, то их называют сезонными. Сезонные колебания формируются не только под влиянием природно-климатических условий, они взаимосвязаны с более общими экономическими процессами, на них оказывают влияние ряд других многочисленных и разнообразных факторов, которые частично являются регулируемыми. Однако, в любом случае и даже в тех, когда прямое воздействие на факторы, вызывающие сезонные колебания, невозможно, все-таки необходимо учитывать их влияние на технологические, организационно-экономические, управленческие и иные процессы. Для этого необходимо уметь измерять и анализировать сезонность, владеть методами прогнозирования процессов, подверженных сезонным колебаниям.

В тех случаях, когда период колебания составляет несколько лет, считают, что во временных рядах присутствует циклическая компонента. Примерами циклической компоненты являются инвестиционный, демографический и прочие циклы.

Случайная компонента представляет собой составную часть временного ряда, остающуюся после выделения из него тренда и циклических компонент. Если последние (тренд и циклические компоненты) определены правильно, то математическое ожидание случайной компоненты равно нулю и ее колебания около среднего значения постоянны. Случайная компонента отражает стохастический характер экономического процесса, влияние на него многочисленных временных факторов: природно-климатических, политических, организационных и др.

Разложение временного ряда на перечисленные компоненты удобно для практических целей, однако не следует считать, что их действие является взаимно независимым, и поэтому такое преобразование не должно рассматриваться в качестве конечной цели анализа.

Применяемые для оценки взаимосвязей показателей и параметров моделей положения и методы теории вероятностей и математической статистики предполагают наличие статистически независимых наблюдений, образующих стационарный процесс. Между тем, временные ряды экономических процессов в большинстве случаев являются нестационарными и уровни в этих рядах автокоррелированы, т.е. взаимосвязаны.

В настоящее время известны способы исключения или уменьшения автокорреляции во временных рядах. Одним из основных и наиболее распространенных является исключение тренда из временного ряда и переход к случайной компоненте.

При математическом моделировании экономических процессов учесть влияние внешних факторов позволяют многофакторные эконометрические модели.

Они обладают целым рядом преимуществ по сравнению с методами, базирующими на использовании одномерных временных рядов. К числу таких преимуществ можно отнести следующие: более полное отображение конкретной деятельности; возможность проследить за характером изменения взаимосвязей внутри системы и с внешней средой, а также определение степени влияния отдельных факторов на исследуемую систему.

Независимо от вида и способа построения экономико-математической модели вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования экономического процесса может быть решен только после установления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту и точности, которая характеризуется величиной отклонения выхода модели от реального значения моделируемой переменной (показателя экономического процесса). Так как полного соответствия модели реальному процессу или объекту быть не может, а адекватность - в какой-то мере условное понятие. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования.

Определение значений показателей прогнозируемого процесса на перспективу осуществляется на основе аналитических моделей, либо полученной на их основе информации. Поэтому, чем выше точность аналитических моделей, тем больше вероятность правильного предвидения будущего. Наиболее распространенным методом прогнозирования является экстраполяция тенденций в будущее, которая дает возможность получить точечное значение прогноза. Однако вероятность "попадания" прогнозируемого показателя в эту "точку" практически равна нулю. Отсюда следует необходимость вычисления перспективных оценок в виде "вилки" через доверительные интервалы.

Доверительные интервалы можно определить экспертными методами путем качественного анализа результатов прогноза и сопоставления его с имеющейся у эксперта информацией. Другой способ определения доверительных интервалов - формальный, на основе статистической информации и найденных оценок параметров прогностических моделей, применить который в настоящее время можно далеко не во всех случаях.

При экстраполяционном прогнозировании экономической динамики с использованием трендовых моделей весьма важным является заключительный этап - верификация прогноза. Верификация любых дескриптивных моделей, к которым относятся трендовые модели, сводится к сопоставлению расчетных результатов по модели с соответствующими данными действительности - массовыми фактами и закономерностями экономического развития. Верификация прогнозной модели представляет собой совокупность критериев, способов и процедур, позволяющих на основе многостороннего анализа оценивать качество получаемого прогноза. Однако чаще всего на этапе верификации в большей степени осуществляется оценка метода прогнозирования, с помощью которого был получен результат, чем оценка качества самого прогноза. Это связано с тем, что до сих пор не найдено эффективного подхода к оценке качества прогноза до его реализации.

Даже в тех случаях, когда прогноз не оправдался, нельзя категорически утверждать, что он был бесполезен, поскольку исследователь или пользователь, если он хотя бы частично контролирует ход событий и может воздействовать на экономический процесс, может использовать прогнозную информацию желаемым для себя образом. Так, получив прогноз событий, определяющих нежелательное направление перспективного развития, пользователь может принять меры, чтобы прогноз не оправдался.

О точности прогноза принято судить по величине ошибки прогноза - разности между фактическим значением исследуемого показателя и его прогнозным значением. Определить указанную разность можно лишь в двух случаях: либо если период упреждения уже окончился и известно фактическое значение прогнозируемого показателя, т.е. его реализация, либо если прогнозирование осуществлялось для некоторого момента времени в прошлом, для которого известны фактические данные.

Однако на практике задачу качества прогнозов чаще приходится решать, когда период упреждения еще не закончился и фактическое значение прогнозируемого показателя неизвестно. В этом случае более точной считается модель, дающая более узкие доверительные интервалы прогноза.

Изучение развития экономических процессов, их моделирование требуют, таким образом, глубокого анализа и учета объективных законов общественного развития, конкретного экономического исследования, наличия информации, вычислительных методов и моделей, соответствующих практических навыков по их использованию и т.д.