5. Разложение правильной дроби на простые дроби
Правильные дроби следующих типов называются простыми:
1)
2)
(k
= 2, 3…)
3)
4)
(n=2,
3...)
При этом
предполагается, что A
,B,p,q
– действительные числа, а квадратный
трёхчлен
не имеет действительных корней, т.е его
дискриминат отрицателен.
Примеры разложения на простые дроби:
1).
=
2).
3).
Суть метода неопределенных коэффициентов
Равенство разложения умножаем на общий знаменатель. В результате получаем уравнение целого вида, в правой части которого многочлен с неопределенными коэффициентами.
2.Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
в обеих частях тождества, получим систему
линейных уравнений, из которой и определим
коэффициенты.
Пример:
Представить дробь в виде суммы простых дробей:
Метод неопределённых коэффициентов:
A+B=2 A=2-B
-2A+C-B=-3 -4+2B+C-13=-3
5A-C=-3 10-5B-C=-3
A=2-B B=3
B+C=1 A=-1
5B+C =-3 C=-2
Пример.
Метод частных значений:
x
=0
-4=-2A
A=2
x=2
2=6B
B=
x=-1 -7=3C
C=
6. Интегрирование простых рациональных дробей
Найдём интегралы от простых рациональных дробей.
I.
II.
III.
=
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение.
Уравнение
вида
где
– независимая переменная, у – искомая
функция,
- её первая производная, называется
дифференциальным уравнением первого
порядка.
Если уравнение (1) можно разрешить относительно , то оно принимает вид
и называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.
Определение.
Решением
дифференциального уравнения первого
порядка называется функция
,
которая при подстановке в уравнение
превращает его в тождество.
Условия ,
в силу которых функция
принимает заданное значение
в заданной точке
называют начальными
условиями
решения.
Уравнения с разделёнными переменными
Определение.
Уравнение
вида
называется уравнением с разделёнными
переменными.
Его решение
.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение.
Уравнение с разделёнными переменными.
Интегрируя, находим общий интеграл:
Пример 2.
Решить уравнение
.
Решение.
Уравнение с разделёнными переменными.
Интегрируя его , находим общий интеграл:
Уравнения с разделяющимися переменными
Определение.
Уравнение
вида
где
- непрерывные функции, называется
дифференциальным уравнением с
разделяющимися переменными.
Пример 3.Решить
уравнение
.
Решение. Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.
Разделяя переменные,
получаем
.
Интегрируя,
получаем
- общий интеграл и
- общее решение.
Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющего условию
.
Решение.
Разделяя переменные, получаем
.
Тогда интегрируя, находим
Общий интеграл уравнения имеет вид
.
Используя начальное условие , находим
С:
Тогда частный интеграл
.
Пример 5.
Найти частное решение уравнения
Решение.
Преобразуем уравнение к виду
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим
.
Имеем
.
Учитывая, что
имеем:
Следовательно,
Откуда
есть частное решение исходного уравнения.