II cеместр Интегральное исчисление функции одной переменной

Таблица основных интегралов

1. , Здесь и в последующих формулах

С – произвольная постоянная

2.

3. ,

4.

5. , Частн. Случай

6. ,

7. ,

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24. ,

Основные методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным табличным интегрированием.

Пример 1:

Пример 2:

22. Метод подведения под знак дифференциала

Идея метода подведением под знак дифференциала состоит в том, что некоторым преобразованиям подвергается дифференциал. При этом заданный интеграл с помощью свойств дифференциала приводится к интегралу от новой переменной, который является табличным или к нему сводящимся.

d u= d (u+C), С – const (прибавление или вычитание константы под знаком дифференциала не изменит дифференциал)

d u= d (k u), С – const, С 0.(при внесении постоянного множителя под знак дифференциала следует перед дифференциалом поставить обратный коэффициент).

Рассмотрим несколько случаев внесения функции под знак дифференциала:

udu= d ( )

cos udu=d(sin u)

sin udu=-d(cos u)

du = d(ln u)

.

Общий принцип: .

Таким образом, внести функцию под знак интеграла – это значит, ее отдельно проинтегрировать и записать полученный результат после знака дифференциала.

.

Эта формула часто используется при вычислении интегралов методом подведения под знак дифференциала.

1)

2)

3)

3. Метод подстановки (замена переменной)

Пусть требуется вычислить:

, при этом функции f(x) и (x) непрерывны на заданном интервале, тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки :

t = u(x)

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Иногда целесообразна подстановка

x = (t).

Тогда формула замены примет вид: .

1 ) =

2) =

3. Метод интегрирования по частям.

Пусть u и v – непрерывные, дифференцируемые функции от х

На основании формулы дифференциала произведения имеем :

udv=d(uv)-vdu

Чаще всего интегрирование по частям используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение является произведением степенной функции (или многочлена) и одной из следующих: показательной, тригонометрической, логарифмической, обратной тригонометрической и т.д.

Суть метода интегрирования по частям: подынтегральное выражение заданного интеграла представляется в виде произведения двух сомножителей u и dv, затем, после нахождения u и v, интегрирование производят по формуле , которая может использоваться несколько раз.

Типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

1) , ,

P(x) = u Остальное – dv

2) , , ,

u = arcsinx, ( u=lnx) dv=P(x)dx

3) ,

u = dv – остальное

Пример.

1.

2.

3.

4.