Равномерное вращательное движение

Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным.

При равномерном вращении его быстроту также описывают частотой оборотов n и периодом вращения T.

Частота оборотов n равна числу оборотов, сделанных за единицу времени,

где N – число оборотов за время t. Т.к. за один оборот тело поворачивается на угол, равный 2, то  = 2N и  = 2n.

Период вращения T– это время, за которое тело совершает один оборот.

Т.к.

, то

, .

[ω] = [ рад/с] , [n] = [об/с] , [T] = [c]

Уравнение равномерного вращения имеет вид φ = φ₀ + ωt.

В частном случае, когда начальный угол поворота φ₀ = 0, φ = ωt.

Угловую скорость равномерно вращающегося тела ω = φ/t

можно выразить и так: ω = 2π/T, где T – период вращения тела;

φ = 2π – угол поворота за один период.

Неравномерное вращение

Неравномерное вращение (угловая скорость изменяется со временем) характеризуется угловым ускорением .

Угловое ускорение  - вектор, равный производной от угловой скорости  по времени t,

.

d - изменение угловой скорости за время dt.

[] = [ рад/с²].

Векторы и направлены по оси вращения тела. При ускоренном вращении тела направления векторов и совпадают, при замедленном – противоположны (рис. 2).

Рис. 2

Равнопеременное вращение

Если угловое ускорение ε = const, то вращательное движение называется равнопеременным. Равнопеременное вращение характеризуется следующими уравнениями:

и ,

₀ и ₀ – угловая скорость и угол поворота тела в начальный момент t₀=0,

 и  – в момент времени t. При ускоренном вращении в этих уравнениях выбирается знак «+», а при замедленном – знак «–».

Связь линейных и угловых характеристик

Если точка тела отстоит от оси вращения на расстоянии r, то за время dt ^{она проходит путь}

dS = d  r

Скорость точки

, или v = r.

При вращении тела тангенциальное ускорение его точки

, или a_ = r

Нормальное ускорение точки тела

^{, или}

.a_n = ²r

Полное ускорение, как указывалось ранее, определяют по формуле

Момент инерции

Момент инерции - скалярная величина, характеризующая  распределения масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. 

Единица измерения СИ: кг·м². Обозначение: I или J.

Момент инерции тела относительно оси вращения  зависит от массы тела и от распределения этой массы относительно этой оси. Чем больше масса тела и  чем дальше она отстоит от воображаемой оси, тем большим моментом инерции обладает тело.

Момент инерции элементарной (точечной) массы m_i, отстоящей от оси на расстоянии  r_i, равен:  

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где:

• m_i — масса i-й точки,

• r_i — расстояние от i-й точки до оси.

,

где:

•  — масса малого элемента объёма тела ,

•  — плотность,

•  — расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции Ja
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1	Ось цилиндра
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями:

J = J_c + ma².

Рис. 3

где  — полная масса тела (рис. 3).

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

.