II. Метод сканирования

Это разновидность метода перебора, но применяется к непрерывной функции. Заданный диапазон изменения факторов (x) разбивается на ряд мелких интервалов с исчисляемым шагом . Для каждого интервала определяют F и в конце получаем интервал неопределенности , в котором и будут находиться экстремум функции. Положение max может быть в любом месте внутри интервала неопределенности.

F

III. Покоординатный спуск (метод Гаусса-Зайделя)

Выбирают координаты начальной точки поиска (х₁₀,х₂₀,х₃₀); выбирают шаги приращения параметров ; замораживают все значения параметров и меняют х₁ с учетом выбранного шага , вычисляя при этом значение функции F. Движение продолжается до тех пор, пока идет увеличение (уменьшение0 функции F. Как только наступит перегиб, возвращаемся в точку max (min) (это локальный max, min). Затем фиксируем в этом положении все факторы кроме х₂ и меняем его с шагом до тех пор пока вычисленные значения функции F с каждым шагом не пройдут через max (min). В точке max закрепляем все факторы кроме х₃ и меняем его с шагом и т.д. до тех пор пока не получим F _max в пределах заданной точности.

Δх₂ Δх₁

Х₁ Δх₂

Δх Δх₁

Δх₁

Δх₁ Δх₂

Δх₂

Δх₂

Δх₁ Δх₁

Х₂

IV. Метод релаксаций.

Напоминает метод покоординатного спуска, отличается тем, что после выбора начальной у₀ определяют фактор х₁, х₂, х₃,…, вызывающий наиболее отклонение функции F и движение производят по данному фактору. Метод релаксаций позволяет сократить путь в область оптимальных значений.

X ₁

F₂

F₃

F₁

Y₀

X₂

V. Градиентный метод (рассмотрен в разделе планирования эксперимента)

Направление grad совпадает с направлением наиболее крутого возрастания F или «наискорейшего спуска». Отсюда и разновидности «крутое возрастание» и «наискорейший спуск». Выбирается начальная точка и движение одно по grad, затем новый центр и опять движение по градиенту и т.д. преимущество этого метода – более точное отыскание оптимума. Недостатком данного метода является сложный эксперимент по поиску grad F и поэтому метод более медленный, чем крутое восхождение.

Х₁

U₁₅

U₁₄

U₁₃

U₁₂

U₁₁

U₁₀

X₂

VI. Методы линейного программирования.

Линейное программирование изучает задачи оптимизации некоторой линейной функции F, выражающей заданный показатель качества при наличии ограничительных условий в виде линейных неравенств и равенств, налагаемых на возможные решения. Экстремум функции F ищется от нескольких независимых переменных, значения которых не отрицательны.

Основы этого метода были разработаны академиком Канторовичем Л. В. в 1939 году. Он единственный в СССР лауреат Нобелевской премии по экономике.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования

Найти max z=x₁+3x₂

Ограничения –x₁+x₂≤1

x₁+x₂≤2

x₁≥0

x₂≥0

x ₂

-x₁+x₂≤1

2

C (0.5;1.5)

Линия постоянного значения

1

B

f=5

0 A 1 2 D x₁

f=3

x₁+x₂≤2

f=0

Заданные линейные неравенства позволяют выделить на плоскости область допустимых решений. Эта область имеет вид четырехугольника с вершинами ABCD.

Линии постоянного значения целевой функции описываются линейными уравнениями x₁+3x₂=c=const.

С уменьшением значения параметра С изолиния перемещается параллельно сомой себе.

В рассматриваемом примере решением задачи линейного программирования является точка с координатами х₁=0,5; х₂=1,5.

Она соответствует точке С, в этой точке z=5, в следующих изолиниях z=3 и z=0.

Max значение целевой функции соответствует одной из вершин многоугольника. Если бы задача состояла в минимизации, то ее решение было бы точкой, соответствующей началу координат.

При отсутствии ограничения х₁+х₂≤2 область допустимых значений неограниченна и целевая функция принимает сколь угодно большие значения.

При замене ограничения х₁+х₂≤2 на х₁+х₂≤-1 множества полученных значений пустые.

Итак, задача линейного программирования может иметь а). конечное решение; б). неограниченное множество конечных решений; в). Неограниченное решение; г). Не иметь решения.

Задачи линейного программирования в стандартной форме формулируются следующим образом: найти точку х (х₁, х₂, х₃,…, х_п), в которой достигает своего минимума функция и выполняются условия

Условие неотрицательности обусловлено тем, что в подавляющем большинстве технических и экономических задач независимые переменные, имеющие конкретный физический смысл, не могут быть отрицательными.

Решение задачи облегчается, если все ограничения являются равенствами. Поэтому ограничения-неравенства преобразуются в ограничения-равенства путем введения неотрицательных переменных х_n+i≥0, что

Знак + или – берется для неравенств > или <.

Если условия неотрицательности не выполняется, то оно представляется в виде разности неотрицательных переменных х_j⁺ и x_j^-. Х_j= х_j⁺- x_j^-, где x_j^-≥0 и х_j⁺≥0.

Целевая функция остается без изменения, решение задачи также не изменяется, а только увеличивается ее размерность.

Таким образом, условие неотрицательности позволяет упростить ход решения.

Решение задач линейного программирования осуществляется методом разрешающих множителей или симплекс-методом.

Чтобы решить задачу линейного программирования достаточно перебрать решения, соответствующие вершинам многоугольника, удовлетворяющего заданным ограничениям.