3. Дисперсия альтернативного признака

Выше был рассмотрен расчет показателей вариации для количественных признаков. Но наряду с вариацией количественных признаков может ставиться задача оценки вариация качественных признаков. При наличии двух взаимоисключающих вариантов значений признака говорят о наличии альтернативной изменчивости качественных признаков. Например, при изучении качества изготовленной продукции можно разделить ее на две группы: годную и бракованную. В таком случае будем иметь дело с альтернативным признаком. Можно считать, что эквивалентом качественного признака будет переменная, которая принимает значение 1 или 0, причем значение 1 она принимает в том случае, когда обследуемая единица обладает данным признаком, а значение 0, когда не обладает им.

Допустим, общее число единиц совокупности равно п. Число единиц, обладающих данным признаком - f, тогда число единиц, не обладающих данным признаком, будет равно п-f. Учитывая изложенное, построим ряд распределения по качественному признаку:

Значение переменной	Частота повторений
1 0	f n-f
Итого	n

Средняя арифметическая такого ряда равна:

т.е. равна относительной частоте (частости), которую можно обозначить через р, тогда = р.

Таким образом, доля единиц, обладающих данным признаком, равна р; соответственно доля единиц, не обладающих данным признаком, равна q; р+q=1. Тогда дисперсия альтернативного признака определяется по формуле

Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака:

.

• Эмпирический коэффициент детерминации (ή ²), от­ражающий определенную изменением признака-фак­тора долю вариации результативного признака:

ή ² = δ² / ² _общ

² _общ — общая дисперсия

δ²— межгрупповая дисперсия;

• Эмпирическое корреляционное отношение (ή), опре­деляющее тесноту связи между изменением признака-фактора и последующим изменением признака-резуль­тата, представляет собой корень из коэффициента детерминации

ή = √ ( δ² / ² _{общ )}

Чем ближе к единице значение эмпирического корреля­ционного отношения, тем теснее связь между изменением признака-фактора и признака-результата.

Критерии согласия

Критерии согласия - особые статистические показатели, характе­ризующие соответствие эмпирического и теоретического распределений. Известны критерии согласия К. Пирсона, В.И. Романовского, А.Н. Кол­могорова, Б.С. Ястремского.

Примеры решения задач

Пример 1.

Сравните вариацию урожайности зерновых культур и картофеля в хозяйствах региона на основе следующих данных.

№ хозяйства	Урожайность, ц/га		Посевная площадь, га
	зерновых Y	картофеля X	зерновых У	картофеля X
1	15	170	20	10
2	20	90	30	20
3	13	130	10	50
4	17	150	90	40
5	25	120	50	30
6	14	80	20	25
7	16	60	32	20
8	27	160	48	45
9	33	140	25	70
10	30	100	30	35
Итого			355	345

Решение.

1. Рассчитаем средние величины урожайности по средним арифме­тическим взвешенным:

По зерновым культурам:

(15x20 + 20x30 + 13x10 + 17x90 + 25x50 + - +14x20 + 16x32 + 27x48 + 33x25 + 30x30 )/ 355 = (300 + 600 + 130 + 1530 + 1250 + 280 + 512 + 1296 + 825 + 900)/355 = 7623/355=21,4 ц/га

По картофелю:

(170x10 + 90x20 + 130x50 + 150x40 + 120x30 + 80x25 + 60x20 + 160x45 + 140x70 + 100x35) / 345 = 43300/345=125,5 ц/га

Для определения показателей вариации целесообразно постро­ить таблицу, в которой будут рассчитаны отклонения от средних урожайностей и их квадраты, взвешенные на частоты, которыми являются посевные площади.

№ хозяйства	Отклонения средних		Квадраты отклонений
1	-6	+44	720	19360
2	_-1	-36	30	25920
3	-8	+4	640	800
4	-4	+24	1440	23040
5	+4	-6	800	1080
6	-7	-6	980	52900
7	-5	-66	800	87120
8	+6	+34	1728	52020
9	+12	+14	3600	13720
10	+9	-26	2430	23660
			13168	299 620

1) Размах вариации урожайности:

R y= Ymax - Yin = 33-13=20 ц/га

Rч = Xmax- Xmin = 170-60 = 110 ц/га

2) Среднее линейное отклонение урожайности зерновых культур:

(6x20 + 1x30 + 8x10 + 4x9 + 4x50 + 7x20 + 5x32 + 6x48 + 12x25 + 9x30)/355= 19480/355=5,5 ц/га

Среднее линейное отклонение урожайности картофеля:

944x10 + 36x20 + 4x50 + 24x40 + 6x30 +46x25 + 66x20 + 34x45 + 14x70 + 26x35)/345 = 8390 / 345 = 24,3 ц/га

3) Среднее квадратическое отклонение урожайности зерновых куль­тур:

√(13168/355 = ± 6,09 ц/га

Среднее квадратическое отклонение урожайности картофеля:

√(299620/345 = ± 29,5 ц/га

Рассчитанные абсолютные показатели не могут быть использованы для сравнения вариации признаков, имеющих хотя и одинаковые еди­ницы измерения, но резко различающихся по величине среднего уровня.

4). Относительные показатели вариации урожайности.

1) Коэффициент осцилляции VR. Урожайности зерновых культур:

VR = (33-13)/21 x 100% = 95%

Урожайности картофеля: VR = (170-60)/126 x 100% = 87%

2) Относительные отклонения V . Урожайности зерновых культур:

Va = 5,5/21x100% = 26,2%

Урожайности картофеля:

Va = 24,3/126 =100% = 19,3%.