3.4. Исчисление предикатов (ип)

Эта ФЛС включает все исчисление высказываний (ИВ), т.е. элементарные высказывания, все операции ИВ, и все формулы ИВ, но помимо этого ИП рассматривает утверждения, которые расчленяются на субъект и предикат, где субъект – логическое подлежащее, т.е. предмет суждения (предмет, факт, явление, процесс и т.д.), предикат - логическое сказуемое, т.е. то, что в утверждении высказывается о подлежащем. Например: "Отец Васи – инженер". Отец Васи - субъект, инженер - предикат.

Субъекты – это либо константы, т.е. конкретные предметы, явления, факты и т.д., названные определенными именами, либо переменные, определяющие класс или множество субъектов. Предикат отражает некоторые свойства субъекта или отношения между субъектами какой-либо группы, т.е. описывает некоторую связь, заданную на множестве констант или переменных.

Такие утверждения могут быть как ИСТИННЫМИ, так и ЛОЖНЫМИ.

Определение. Двузначный предикат это логическая функция от некоторого числа аргументов, которая принимает одно из двух возможных значений – ИСТИНА (И) или ЛОЖЬ (Л), тогда как значениями ее аргументов могут быть элементы произвольных заданных множеств.

Предикат - это неоднородная логическая функция в отличие от функций ИВ, которые называются однородными, поскольку как сами функции ИВ, так и их аргументы принимают значения из одного и того же множества {И , Л}.

Предикат, число аргументов которого равно n, называется n-местным и обозначается P(x₁,x_2,…, x_n), где x₁,x_2,…, x_n - аргументы предиката, называемые предметными или индивидуальными переменными. Они обозначают произвольные элементы заданных множеств M₁, M₂,..., M_n , т.е. x₁ M₁,.., x_n M_n Множество M_i - это область определения предметной переменной x_i (i=1,…,n).

Множество M = M₁  M₂  ... M_n, т.е. декартово произведение областей определения аргументов x₁, x_2,…, x_n, содержит все возможные упорядоченные наборы значений аргументов длины n и называется полем предиката P(x₁,x_2,…, x_n) или универсумом.

Одноместный предикат выражает свойство субъекта (единственного), n-местный предикат при n>1 выражает отношения между n субъектами, соответствующими его аргументам.

Основные понятия

Важнейшие понятия в ИП - понятия ФУНКЦИИ и ОТНОШЕНИЯ [10,11].

ФУНКЦИЯ f (x_1, x₂ ,.., x_k ) от k аргументов задает отображение k элементов из области определения этих аргументов на ОДИН элемент ИЗ ЭТОЙ ЖЕ ОБЛАСТИ [11], иначе говоря, "функция есть отображение, которое отображает список констант в данную константу"[10]. Символ f (x_1, x₂ ,.., x_k ) , используемый для обозначения функции от k аргументов, называется k-местным функциональным символом.. В качестве таких символов обычно используются буквы f, g, h, , , ,…или некоторые слова и словосочетания, связанные со смыслом данной функции.

Примеры.

1.Область определения аргументов - множество рациональных чисел. Выражение z = произведение(x, y), описывающее функцию произведения двух чисел, означает, что число z есть произведение чисел x и y, т.е. отображает два натуральных числа x и y на одно натуральное число z. При x =3, y =5 получим z =15.

2. Область определения - множество людей. Пусть отец(x) – функция "быть отцом", т.е. запись y = отец (x) - означает, что y - это ЧЕЛОВЕК, который является отцом любого человека, представленного переменной x. Пусть отцом конкретного человека по имени Николай, является Василий. Это значит, что если x =Николай, то y = отец(Николай)=Василий.

Функцию отец (x) можно обозначить f (x), тогда выражение " y является отцом x" запишется как y= f(x), выражение "r является дедушкой x" - как r = f (f (x)), т.е. r – отец отца x, выражение "Василий - отец Николая" как - Василий = f (Николай), а если дедушкой Николая является Степан, то r = f (f (Николай)) = Степан.

ОТНОШЕНИЕ (k-местное) - это отображение k элементов из данной области определения аргументов на элемент множества {ИСТНА, ЛОЖЬ}={ И, Л } .

Примеры.

1.Область определения - множество рациональных чисел.

(а).Введем ОТНОШЕНИЕ: ПРОИЗВЕДЕНИЕ (x, y, z), которое означает "z является произведением чисел x и y". Это высказывание может принять одно из двух значений: И или Л. Так ПРОИЗВЕДЕНИЕ (2, 3, 6) = ИСТИНА, ПРОИЗВЕДЕНИЕ (2, 3, 8) = ЛОЖЬ.

(б).ОТНОШЕНИЕ: БОЛЬШЕ (x, y) - "x больше y".

Тогда БОЛЬШЕ (7, 9) = Л, БОЛЬШЕ (5, 2) = И.

(в). Используя понятия функции и отношения предложение "(x  y) больше, чем y" можно представить в виде БОЛЬШЕ (произведение(x, y),y).

Тогда БОЛЬШЕ ( произведение(2, 4),4) = И, БОЛЬШЕ ( произведение(0.5, 4),4) =Л.

2.Область определения - множество людей. Введем ОТНОШЕНИЕ: ОТЕЦ(у,x) – "у является отцом x". Если в реальности отцом конкретного человека по имени Николай, является Василий, то это отношение может иметь следующие значения: ОТЕЦ(Василий,Николай)=И,ОТЕЦ(Андрей,Николай)= Л.

В ИП элементарным объектом, принимающим значение ИСТИНА или ЛОЖЬ, является АТОМАРНАЯ ФОРМУЛА (АТОМ), которая имеет вид P (t₁, t₂,…, t_n) ,где t₁, t₂,…, t_n - аргументы предиката, называемые ТЕРМАМИ; P – предикатный символ, т.е. имя отношения, существующего между аргументами, или имя свойства, если аргумент один. ТЕРМ – определяется индуктивно:

1. Любая КОНСТАНТА и любая ПРЕДМЕТНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ - ТЕРМЫ.

2. Если f – n-местный функциональный символ, а t₁, t₂,…, t_n – ТЕРМЫ, то выражение f ( t₁, t₂,…, t_n ) – является ТЕРМОМ.

3. Других термов нет.

Термы вида f ( t₁, t₂,…, t_n ) называются составными термами или структурами.

Примеры термов: x (переменная); 7, С (константы);  (x, y); сумма (х, 5); произведение (х, сумма (z,5)), брат (у), брат (отец (Петр)) - составные термы.

Примеры НЕ термов:  (f); 100(, z); y(, C) .

Атомарная формула и ее отрицание называются ЛИТЕРАЛАМИ.

КВАНТОРЫ

Значение предикатного выражения (ИСТИНА или ЛОЖЬ) зависит от значений входящих в него предметных переменных. Если этим переменным не присвоены конкретные значения, то значение предикатного выражения (атомарной формулы) не определено.

Для того, чтобы атомарной формуле можно было присваивать определенные значения истинности, не перебирая ВСЕ возможные значения предметных переменных, вводятся два специальных оператора, называемые КВАНТОРАМИ, которые позволяют задать значения предикатного выражения для двух крайних случаев.

1. Факт, описанный предикатным выражением P(x,y.., B,C,..), имеет место при ВСЕХ значениях данной переменной x X , где X - ее область определения, т.е. формула P(x,y.., B,C,..) ИСТИННА при любом значении переменной x из ее области определения (независимо от значений всех других переменных). Это записывается как x P( x, y,.., B,C,..) - "Для всех x X справедливо P(x, y,.., B,C,..)".Символ x называется КВАНТОРОМ ОБЩНОСТИ ( ВСЕОБЩНОСТИ).

2. Факт, описанный предикатным выражением P(x, y,.., B,C,..), имеет место для НЕКОТОРЫХ значений переменной x (хотя эти значения могут быть и неизвестны), т.е. в области определения переменной x имеются такие ее значения (хотя бы одно), при которых формула P(x, y,.., B,C,..) ИСТИННА. Это записывается как: x P(x, y,.., B,C,..) - "Существуют такие значения x X, для которых справедливо P( x, y,.., B,C,..)". Символ x называется КВАНТОРОМ СУЩЕСТВОВАНИЯ.

Переменная, к которой применен квантор, называется связанной, остальные переменные – свободными. Применение кванторов к каким-либо переменным называется квантификацией переменных.

Примеры

1. Рассмотрим предикатное выражение ЗНАТЬ_ЯЗЫК (x, y),

где xX, X - множество московских студентов, y Y, Y - множество европейских языков, т.е. "Студент x знает язык y".

Пусть y = Фр (франц. яз.), тогда, очевидно: (а) x ЗНАТЬ_ЯЗЫК (x, Фр) = ЛОЖЬ ("Все московские студенты знают французский язык"- ЛОЖЬ, т.к. я знаю нескольких студентов, незнающих этот язык ); (б) x ЗНАТЬ_ЯЗЫК (x, Фр) = ИСТИНА ("Есть хотя бы один московский студент, который знает французский язык", и я знаю этого студента).

2. Пусть есть предикатное выражение БОЛЬШЕ (y,x) - "y больше x". Тогда утверждение "Для каждого числа x существует число y, которое больше, чем x " можно представить как x y БОЛЬШЕ (y,x).

Формальное определение ИП [12]:

I. ЯЗЫК ИП

- АЛФАВИТ ИП:

- предметные (индивидуальные) переменные: w, v, x, y …или x₁, x₂…

- предметные константы (имена объектов): A, B, C, …

- функциональные символы: f₁, f₂ ,…, ..

- предикатные символы: P₁ , P₂ ,.. P_m, Q, R,…

- символы кванторов: , 

- алфавит исчисления высказываний (ИВ):

(а) пропозициональные (логические) переменные a, b, c, d…, принимающие

значения И или Л; (в) логические связки , , ,  и скобки ( ).

- СИНТАКСИС ИП - правила построения ППФ:

1. Атомарная формула P(t₁, t₂,…, t_n ) - есть ППФ.

2. Если R и Q являются ППФ, то следующие выражения, построенные из R и Q с помощью связок ИВ, так же являются ППФ:

R, R  Q, R  Q, R  Q

3. Если R (x,…) – это ППФ, содержащая свободную переменную x, то выражения xR (x,…) и  xR (x,…) также являются ППФ.

4. Других ППФ нет.

II. АКСИОМЫ ИП

В качестве аксиом ИП принимается любая система аксиом ИВ, к которой добавляются две следующих аксиомы

(а) x P(x)  P(y)

(б) P(y)  x P(x)

III. ПРАВИЛА ВЫВОДА

1. Правило заключения ( Modus Ponens)

P , P  Q

Q , где P и Q - произвольные ППФ исчисления предикатов.

2. Правило специализации

x P(x, y,z,…)

P(А, y,z,…) ,

т.е. если истинна формула x P(x, y,z,…), где x – переменная из некоторой области определения, то истинна и формула P(А, y,z,…), где А - любая константа (имя предмета из данной области определения).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ В ИП.

1. Прямое доказательство - последовательное применение правил вывода, начиная с аксиом. Применяемые правила вывода должны быть логичными.

Правила вывода, составляющие некоторое множество, называют логичными, если те ППФ (теоремы), истинность которых при условии истинности посылок может быть установлена с помощью этих правил, ДЕЙСТВИТЕЛЬНО логически следуют из данного множества посылок (что может быть установлено некоторым другим способом, например, с помощью таблиц истинности) [5].

Основными применяемыми при доказательстве правилами вывода являются правило заключения (Modus Ponens) и правило специализации (см. выше), которые являются логичными.

Правило специализации позволяет освободиться от квантора общности , что бывает необходимо для последующего выполнения правила заключения, поэтому оно обычно применяется до выполнения правила заключения (часто уже на первом шаге доказательства).

Пример 1

Пусть есть два предиката:

ИМЕТЬ_ПОЦЕССОР(x) - " объект x имеет процессор "

КОМПЬЮТЕР( x ) - "объект x является компьютером" ,

где x  X, X – множество материальных тел.

ПОСЫЛКИ

(1) ИМЕТЬ_ ПРОЦЕССОР (WEST)	"Объект с именем WEST имеет процессор"
(2)x ИМЕТЬ_ПРОЦЕССОР(x) КОМПЬЮТЕР( x)	"Для всех x справедливо : если x имеет процессор, то x является компьютером"
................................................................................................. Теорема (доказать): КОМПЬЮТЕР (WEST )	............................................ "Объект WEST является компьютером"

1. Применяем правило специализации к посылке

(2)x ИМЕТЬ_ПРОЦЕССОР(x) КОМПЬЮТЕР( x) , считая, что

P(x) = ИМЕТЬ_ПРОЦЕССОР (x) КОМПЬЮТЕР( x) и положив x = WEST.

Получим выражение

(2а). ИМЕТЬ_ПРОЦЕССОР(WEST ) КОМПЬЮТЕР(WEST )

2. Применяем правило заключения R, R  S к выражениям (1) и (2а):

S

(1) R: ИМЕТЬ_ПРОЦЕССОР(WEST )

(2а) R  S : ИМЕТЬ_ПРОЦЕССОР(WEST ) КОМПЬЮТЕР( WEST )

Получим: утверждение S = КОМПЬЮТЕР(WEST ) - истинно.

Теорема доказана.

2. Доказательство с помощью правила резолюции [5].

Схема доказательства аналогична применяемой в ИВ (см. выше).

В попытке доказать истинность отрицания теоремы правило резолюции (L Y ) (  Z)  (Y  Z) применяется к парам ППФ, имеющим вид дизъюнктов. (L Y ) и (  Z), где L и  - литералы, а Y, Z - некоторые дизъюнкции литералов.

Для выполнения процедуры доказательства все ППФ, описывающие посылки и отрицание теоремы, должны быть представлены в конъюнктивной форме (т.е. как конъюнкции или множества дизъюнктов). Показано, что любая ППФ исчисления предикатов может быть преобразована в такую форму и процесс преобразования описан в [5]. Поскольку в ИП литералами являются атомарные формулы и их отрицания, в общем случае содержащие кванторы, то процесс указанного преобразования, включающий освобождение от кванторов, является достаточно сложным, особенно в связи с исключением квантора существования. Поэтому далее рассмотрим случай, требующий исключения только квантора общности.

Пример 2. Пусть требуется доказать теорему, сформулированную в Примере 1.

Применив правило специализации к посылке (2), получим представление этой посылки в виде выражения (2а), затем преобразуем это выражение в конъюнктивную форму, исключив операцию импликации в соответствии с формулой PQ = P  Q.

Получим:

( 2а) ИМЕТЬ_ПРОЦЕССОР(WEST )  КОМПЬЮТЕР( WEST ) =

= ИМЕТЬ_ПРОЦЕССОР( WEST ) V КОМПЬЮТЕР( WEST )

Далее выполним описанную выше процедуру доказательства:

( 1) ИМЕТЬ_ ПРОЦЕССОР (WEST)

КОМПЬЮТЕР (WEST)

(2а) ИМЕТЬ_ПРОЦЕССОР( WEST ) V

V КОМПЬЮТЕР ( WEST )

(3) T: КОМПЬЮТЕР (WEST )  противоречие

Получено ПРОТИВОРЕЧИЕ, следовательно, теорема доказана.