3. Основные понятия теории логического вывода и формальные логические системы

Вопросы, подлежащие изучению

3.1. Понятие логического вывода. Типы логических рассуждений. Критерий правильности дедуктивных рассуждений.

3.2. Принципы построения формальных логических систем.

3.3. Исчисление высказываний (ИВ) - формальное определение, основные понятия, правила вывода, методы логического вывода (доказательства теорем) в ИВ:

с помощью "таблиц истинности", метод резолюции.

3.4. Исчисление предикатов (ИП): - формальное определение, основные понятия (атомарные формулы, термы, функции, кванторы), правила вывода, методы доказательства теорем в ИП: с помощью непосредственного применения правил вывода, метод резолюции.

3.1. Логический вывод (логические рассуждения)

- это процесс рассуждений, позволяющих от некоторых исходных утверждений, считающихся истинными (и называемых ПОСЫЛКАМИ или ГИПОТЕЗАМИ), перейти к новым утверждениям, логически вытекающим из исходных, т.е. к ЗАКЛЮЧЕНИЯМ.

Это один из основных подходов, используемых человеком при решении трудно формализуемых задач. Запись A₁, .., A_n  B означает: "Если истинны A₁, .., A_n , то истинно B, т.е. из посылок A₁, .., A_n логически следует заключение B". Типы логических рассуждений: (а) дедуктивные – "от общего к частному" (посылки A₁, .., A_n являются более общими, чем заключение B); (б) индуктивные – "от частного к общему" (посылки A₁, .., A_n являются менее общими, чем заключение B); (в) традуктивные – "от частного к частному" (и посылки и заключение имеют одинаковую степень общности).

Дедуктивные рассуждения являются достоверными, т.е. от истинных посылок они всегда приводят только к истинному заключению.

Индуктивные и традуктивные рассуждения являются правдоподобными (гипотетическими), т.к. от истинных посылок они могут приводить как к истинному, так и к ложному заключению. Индуктивные заключения (обобщения) имеют ценность как средство поиска гипотез, но не как средство их подтверждения.

3.2. Принципы построения формальных логических систем.

Формальная логическая система (теория, исчисление) определена, если

- задан ЯЗЫК теории, т.е. алфавит (конечное множество символов) и синтаксис (набор правил построения последовательностей символов алфавита, т.е. предложений или правильно построенных формул - ППФ, часто называемых просто формулами);

- задано множество АКСИОМ теории, т.е. некоторое подмножество ППФ, которые приняты истинными в данной логической системе;

- задано конечное множество ПРАВИЛ ВЫВОДА, позволяющих получать заключения на основе посылок.

Вид правила вывода: F₁,..,F_n / G, что означает: "Если истинны формулы F₁,..,F_n , то истинна и формула G".

3.3. Исчисление высказываний (ив)

Высказывание - это утверждение, которое может быть либо истинным (И), либо ложным (Л) и не может быть тем и другим одновременно.

Определение исчисления высказываний (ИВ), как ФЛС:

1. ЯЗЫК ИВ:

(1) алфавит ИВ: (а) символы элементарных или атомарных (т.е. неделимых) высказываний (пропозициональные переменные), которые могут принимать значения И или Л: a, b, c, d,…; (б) символы логических операций (логических или пропозициональных) связок:  или  - конъюнкция,  - дизъюнкция,  - отрицание,  - импликация,  - эквивалентность; (в)( ) - символы скобок.

(2) синтаксис ИВ - правила построения ППФ:

- символ элементарного высказывания (пропозициональная переменная) есть

ППФ: a,b,...

- если P и Q - это ППФ, то выражения P  Q, P  Q, P, P  Q, P  Q,

так же являются ППФ:

- других ППФ нет.

Большие буквы, используемые для сокращенного обозначения формул, не являются символами ИВ. Для операции импликации ("если А , то В") справедлива формула: P  Q = P  Q.

2. АКСИОМЫ ИВ. Наиболее известны следующие системы аксиом ИВ:

(а). Система П.С. Новикова (11 аксиом, используются 4 связки ,, , );

(б). Система Б. Рассела и А.Н. Уайтхеда (4 аксиомы, используются 2 связки ,  );

(в). Система Д. Гилберта (вариант) (4 аксиомы, используются 2 связки ,  ).

(г). Система, состоящая из 3 аксиом (используются 2 связки ,  ).

3. ПРАВИЛА ВЫВОДА в ИВ.

(1).ПРАВИЛО ПОДСТАНОВКИ: U(a) / U(В) - "Если истинно U(a), то истинно и U(В)", т.е. если U(a) - истинная формула ИВ, содержащая переменную a, то истинной является и формула U(В), которая получается из U(a) заменой ВСЕХ вхождений переменной a на произвольную формулу В, не содержащую переменную a .

(2).ПРАВИЛО ЗАКЛЮЧЕНИЯ - Modus Ponens (Modus Ponendo Ponens):

A, (A  B) / B: "Если А истинно и из А следует В, то и В истинно".

Доказательство теорем в ИВ.

Даны: - ППФ А₁, ..., А_n - посылки (гипотезы);

- ППФ В - утверждение, называемое теоремой.

Требуется установить: истинно ли утверждение В, если истинны посылки А₁, ..., А_n. Если это так, то В является логическим следствием посылок А₁, ..., А_n (обозначение: А₁, ..., А_n  В ), т.е. теорема доказана; если это не так, то теорема опровергнута.. Существуют два подхода к доказательству теорем - семантический и синтаксический.

1. Семантический подход - доказательство осуществляется на основе семантики (т.е. истинностных значений ППФ). Наиболее простой семантический метод - метод таблиц истинности: рассмотреть все возможные присваивания значений истинности (т.е. И или Л) элементарным высказываниям, входящим в посылки, и выявить такие наборы значений этих элементарных высказываний, которые делают истинными ВСЕ посылки. Теорема доказана тогда и только тогда, когда утверждение В истинно на всех этих наборах.

Пример 1

Элементарные высказывания (переменные):

p – я читаю скучную книгу; q - мне хочется спать.

Посылки:

П1 : p  q "Если я читаю скучную книгу, то мне хочется спать"

П2 : p "Сейчас я читаю скучную книгу "

Теорема: Т = q "Сейчас мне хочется спать" – доказать.

Таблица истинности Табл. 2

p	q	П1: p  q = =p  q	П2: p	Т: q
1	1	1	1	1
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
0	0	1	0	0

Поскольку на наборе значений переменных p =1, q = 1, на котором истинны ВСЕ посылки, т.е. П1 и П 2, истинна так же и ППФ, представляющая теорему Т: q =1 то теорема доказана.

2. Синтаксический подход- доказательство осуществляется путем формальных преобразований ППФ, представляющих посылки и теорему, с помощью правил вывода (без присвоения конкретных значений истинности элементарным высказываниям).

Один из эффективных методов - метод резолюции [1,2,4]. В его основе - принцип опровержения: предполагается, что теорема В при истинности посылок А₁, ..., А_n ложна. Тогда ее отрицание истинно (при истинности посылок). Следовательно, для доказательства теоремы надо доказать, что данное предположение ложно, т.е. что ложно утверждение . Это утверждение ложно в том случае, если одновременная истинность всех посылок А₁,..., А_n и отрицания теоремы приводит к противоречию, т.е. к такой ситуации, когда какая-либо из переменных, входящих в посылки или в отрицание теоремы, например p, и ее отрицание p ("не-p") одновременно должны быть истинными. Если достигнута такая ситуация, то поскольку по закону противоречия в классической логике она невозможна, отрицание теоремы (при истинности посылок) ложно, а теорема истинна..

Ход доказательства: пытаемся (с помощью некоторой процедуры) доказать истинность утверждения , т.е. истинность отрицания теоремы при истинности всех посылок.. Если эта процедура приводит к противоречию, то значит, попытка неудачна, т.е. отрицание теоремы ложно, и, следовательно, теорема истинна, т.е. доказана. Указанная процедура выполняется с помощью специального правила вывода - правила резолюции, применяемого к посылкам и отрицанию теоремы, представленным в конъюнктивной форме (введено Дж. Робинсоном в 1965).

Термины: литерал (литера) - это пропозициональная переменная (элементарное высказывание) или ее отрицание: a, b, c, r, …; дизъюнкт (clause) – это дизъюнкция конечного числа литералов (напр., (a  b  c); (e  x); d ; y); конъюнктивная форма высказывания – это конъюнкция конечного числа дизъюнктов, например:

A = (a  b  c ) &(e  x) & d & y = (a  b  c)(e  x) d y.

ПРАВИЛО РЕЗОЛЮЦИИ. Если два дизъюнкта имеют вид: M = ( a  Y ) и N = (  Z),

(где a и  - литералы, а Y, Z - некоторые дизъюнкции литералов, то справедливо

( a  Y ) (  Z)  (Y  Z).

Применение этого правила к дизъюнктам (a  Y) и (  Z) называется резолюцией этих дизъюнктов, предложение (Y  Z) - их резольвентой, а литералы вида a и - называются контрарными друг другу (контрарной парой). Например, если Y= b   e; Z = d  m  r , то резольвента R = ( Y  Z) = (b   e  d  m  r ).

ПРОЦЕДУРА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ в ИВ МЕТОДОМ

РЕЗОЛЮЦИИ

1. Представить каждую из посылок и отрицание теоремы в конъюнктивной форме (т.е. как конъюнкцию или множество дизъюнктов).

2. Сформировать множество , включающее все полученные дизъюнкты, являющиеся членами как посылок, так и отрицания теоремы (которое может быть представлено как конъюнкция ВСЕХ полученных дизъюнктов).

3. Найти в этом множестве два любых дизъюнкта, содержащих контрарную пару литералов x и (т.е. таких, что если один из них содержит какую-либо переменную x, то другой содержит ).

4. Выполнить резолюцию этих двух дизъюнктов и получить резольвенту R.

5. Включить резольвенту в исходное множество дизъюнктов, т.е. в Г, удалив из него дизъюнкты, подвергшиеся резолюции, и продолжить процесс до тех пор, пока не произойдет одно из двух событий:

(1) возникнет противоречие по отношению к какой-либо переменной (например, p и одновременно должны быть истинными); это значит, что отрицание теоремы не является истинным при истинности посылок, т.е. оно ложно, а следовательно, теорема истинна, т.е. доказана.

(2) возникнет ситуация, когда в множестве  нет дизъюнктов, над которыми можно произвести резолюцию, т.е. невозможно построение новых предложений, а противоречие не встретилось. Это значит, что при истинности посылок отрицание теоремы истинно, а следовательно, теорема ложна, т.е. не доказана (опровергается).