МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского

факультет математики и информатики

кафедра информатики

Конспекты лекций по дисциплине Дискретная математика

для студентов дневной (заочной) формы обучения

направления 0802 Прикладная математика,

специальностей 6.080200 Информатика,

6.080200 Прикладная информатика

	Составитель: доктор физико-математических наук, профессор Донской В.И.
	Рассмотрены и рекомендованы на заседании кафедры ……………………………. от «__» _____200_г. (протокол №_)

Симферополь, 2004

Тема 0: Введение

Лекция 1. Предмет, мета та задачі дискретної математики

1. Непрерывность и дискретность [1,2,3,5]

2. Конструктивные объекты и задача синтеза. Ведение в теорию множеств и отношений [1,2,3,4,5]

Литература:

1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.:Высш. шк., 2001. – 384 с.

2. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Сборник задач по дискретной математике. М.: Наука, 1977. – 386 с.

3. Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. М.: Наука, 1972.- 288 с.

4. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика (основание информатики). М.: Мир, 1998. – 703 с.

5. Донской в. И. Дискретная математика. – Симферополь: Сонат, 2000. –356 с.

Тема 1: Теория булевых функций и теория k-значных функций

Лекция 1. Предмет, мета та задачі дискретної математики

1. Основные понятия теории булевых функций [1,2,3,5]

Вектор , координаты которого принимают значения из множества {0,1}, называется двоичным (булевым) вектором длины n.

Множество всех булевых векторов длины n называется единичным n-мерным кубом и обозначается Bⁿ. Весом или нормой вектора называется число || || = .

Множество всех вершин куба, вес которых равен k, называется k-м слоем куба Bⁿ. Число называется номером вектора .

Число — называется расстоянием Хемминга.

Наборы (векторы) и называются соседними, если , и противоположными, если .

Говорят, что набор предшествует набору (обозначение: ), если для всех i=1,...,n a_i b_i . Если при этом , то говорят, что строго предшествует (обозначение ). Если выполняется условие ( ) или ( ), то и называют сравнимыми наборами, иначе — несравнимыми. Последовательность вершин куба Bⁿ называется цепью, соединяющей и , если для i=1,..,k, все вершины в последовательности различны. Число k называется длиной цепи. Цепь называется возрастающей, если для i=1,...k. Если , то цепь называют циклом.

Множество всех наборов (a₁,...,a_n) из , у которых a_ij= .

(j=1,...,k), называется гранью куба Bⁿ. Множество номеров перeменных I={i₁,...,i_k} называется направлением грани, число k — рангом грани, (n-k) — размерностью грани. Интервалом куба Bⁿ называется множество вида . Число называется размерностью интервала.

2. Реализация булевых функций формулами [1,2,3,5]

Функция f( ), определенная на множестве Bⁿ и принимающая значения из множества {0,1}, называется функцией алгебры логики или булевой функцией. Множество всех булевых функций обозначается P₂ .

Функциональные символы: & - конъюнкция, - сумма по модулю 2, - импликация, V - дизъюнкция, ~ - эквивалентность, / - штрих Шеффера,  - стрелка Пирса называются логическими связками.

Элементарные булевы функции:

- одной переменной:

X	0	1			0 - тождественный ноль 1 - тождественная единица
0	0	1	1		x - тождественная функция
1	0	1	0		- инверсия (отрицание)

- двух переменных:

x	y	x&y	xVy	x y	x~y	x y	x/y	x y
0	0	0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	1	1	0	0	1	0
1	1	1	1	0	1	1	0	0

Функция из P₂ зависит существенным образом от аргумента , если существуют такие значения переменных , что . В этом случае переменная называется существенной. Если не является существенной переменной, то она называется фиктивной.

Формулой над множеством функциональных символов Ф называется вся-кое (и только такое) выражение вида: 1) и , где – нуль-местный, а — n-местный функциональные символы и – символы переменных; 2) , где — s-местный функциональный символ и — либо формула над Ф, либо символ переменной.

Формула называется тождественно истинной (тождественно ложной), если реализуемая ею функция равна 1 (соответственно 0).

3. Основные тождества [1,2,3,5]

x* y=y*x — коммутативность любой операции * из {&,V, ,~,/, }

(x * y) * z = x * (y * z) — ассоциативность любой операции * из {&,V, ,~}

= и = — тождества де Моргана

x V (x & y) = x и x & (x V y) = x — правила поглощения

и

дистрибутивность:

x & (y V z) = (x & y) V (x & z) — конъюнкции относительно дизъюнкции

x V (y & z) = (x V y) & (x V z) — дизъюнкции относительно конъюнкции

x & (y z) =(x & y) (x & z) — конъюнкции относительно сложения по mod 2

0 = x & = x & 0 = x x , x = = x V x = x &x = x &1 = x V 0

1 = x V = x V1 = x~ x , = x 1, x~ y=(x y) 1

Литература:

1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.:Высш. шк., 2001. – 384 с.

2. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Сборник задач по дискретной математике. М.: Наука, 1977. – 386 с.

3. Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. М.: Наука, 1972.- 288 с.

4. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика (основание информатики). М.: Мир, 1998. – 703 с.

5. Донской В. И. Дискретная математика. – Симферополь: Сонат, 2000. –356 с.

Лекция 2. Двойственность. Канонические формы булевых функций

1. Принцип двойственности [1,2,3,5]

Принцип двойственности: если формула реализует функцию , то формула реализует функцию .

2. Совершенная конъюнктивная нормальная форма [1,2,3,5]

Формула (формула ), где для всех — называется конъюнкцией (дизъюнкцией) над множеством переменных .

Конъюнкция (дизъюнкция) называется элементарной (э.к., э.д.), если при j k. Выражения вида будут называться буквами (литералами). Число символов (букв) в э.к. (э.д.) называется рангом э.к. (э.д.).

Формула вида K= , где – дизъюнкции, называется конъюнктивной нормальной формой (к.н.ф.). Число s называется длиной д.н.ф. (к.н.ф.).

3. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма [1,2,3,5]

Формула вида D= , где – элементарные конъюнкции, называется дизъюнктивной нормальной формой (д.н.ф.).

Д.н.ф. называется совершенной, если она составлена из попарно различных элементарных конъюнкций ранга n.

Элементарная конъюнкция называется монотонной, если она не содержит отрицаний переменных.

4. Поліноми Жегалкіна [1,2,3,5]

Формула , где – попарно различные монотонные элементарные конъюнкции, а , называется полиномом Жегалкина или полиномом по модулю 2. Наибольший из рангов э.к., входящих в полином, называется степенью этого полинома, число s называется длиной полинома.

Литература:

1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.:Высш. шк., 2001. – 384 с.

2. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Сборник задач по дискретной математике. М.: Наука, 1977. – 386 с.

3. Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. М.: Наука, 1972.- 288 с.

4. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика (основание информатики). М.: Мир, 1998. – 703 с.

5. Донской В. И. Дискретная математика. – Симферополь: Сонат, 2000. –356 с.

Лекция 8. Введение в теорию k-значных функций

1. Основные понятия теории k-значной логики [1,2,3,5]

Пусть Е_k ={0,1,...,k-1}. Функция называется функцией k-значной логики, если на всяком наборе значений переменных , где , значение также принадлежит множеству Е_k. Совокупность всех функций k-значной логики обозначается P_k.

,

2. Реализация k-значных функций формулами. Операция суперпозиции [1,2,3,5]

Элементарные функции k-значной логики:

константы 0,1,...,k-1 ;

отрицание Поста: (mod k); отрицание Лукашевича: ~x = (k-1)-x;

характеристические функции числа i:

минимум x и y: min(x,y); максимум x и y: max(x,y);

сумма по модулю k: x+y(mod k); произведение по модулю k: x y(mod k);

усеченная разность:

импликация:

функция Вебба: v_k (x,y) = max(x,y)+1 (mod k);

разность по модулю k:

Функции min, max, + , обладают свойствами коммутативности и ассоциативности. Кроме того, справедливы соотношения:

Вводятся по определению:

3. Тождества [1,2,3,5]

Любую функцию из Р_k можно представить в первой форме:

.

Любую функцию из Р_k можно представить во второй форме:

,

где сложение и умножение берется по mod k.

Литература:

1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.:Высш. шк., 2001. – 384 с.

2. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Сборник задач по дискретной математике. М.: Наука, 1977. – 386 с.

3. Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. М.: Наука, 1972.- 288 с.

4. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика (основание информатики). М.: Мир, 1998. – 703 с.

5. Донской В. И. Дискретная математика. – Симферополь: Сонат, 2000. –356 с.