Непрерывность полиномов как функций комплексного переменного

Определение 8.10: Функция , действующая из в называется непрерывной в точке , если такое, что из неравенства следует: , .

Определение 8.11: Функция, непрерывная в произвольной точке называется непрерывной.

Лемма: Пусть , . Тогда такое, что из неравенства следует, что .

Теорема 8.6: Полином является непрерывной функцией комплексного переменного .

Следствие: является непрерывной функцией комплексного переменного .

Лемма о модуле старшего члена полинома: Пусть дан полином -ой степени, . , тогда для любого существует такое, что , если .

Лемма о возрастании модуля полинома: Если – полином степени , то для любого существует такое, что при .

Лемма Даламбера: Если – полином степени и , то существует такое, что .

Теорема 8.7: Если функция действует из в и непрерывна в замкнутом круге на комплексной плоскости, то достигает в этом круге свое минимальное значение, то есть существует из круга такое, что для всех из круга.

Основная теорема высшей алгебры: Для любого полинома степени существует хотя бы один комплексный корень.

Следствие 1: Если – полином степени , то существуют комплексные числа , такие, что , ( могут повторяться).

Следствие 2: Любой полином степени имеет ровно корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 3: Два полинома и равны (по определению 8.2) тогда и только тогда, когда для любого .

Следствие 4 (формула Виета):

Пусть , , – корни полинома, тогда

,

,

,

……………………………………………….

,

.

Например, при , получаем:

,

,

.

Следствие 5: Если – полином с вещественными коэффициентами и , то .

Следствие 6: Всякий полином с вещественными коэффициентами можно разложить на произведение полиномов первой и второй степени с вещественными коэффициентами.

Тема 9 Элементы теории групп

Определение 9.1: Непустое множество элементов произвольной природы называется группой, если в нем определена одна алгебраическая операция , которая обладает следующими свойствами:

1. Ассоциативность: , .

2. Операция обратима, то есть существуют единственные и из такие, что , .

Определение 9.2: Группа, состоящая из конечного числа элементов называется конечной, а число элементов в ней – порядком группы.

Определение 9.3: Если групповая операция коммутативна, то есть , , то группа называется коммутативной или абелевой.

Замечание: Если групповая операция обозначается и называется сложением, то такая форма записи группы называется аддитивной, а если и называется умножением – то мультипликативной.

Будем в дальнейшем использовать мультипликативную форму записи группы.

Свойства группы

1. В группе определено произведение любого конечного числа элементов.

2. Существует единственный единичный элемент такой, что , .

3. существует единственный обратный элемент такой, что .

4. .

5. .

Теорема 9.1: Множество с ассоциативной операцией (умножение) является группой, если существует такой, что , , среди элементов существует такой, что существует такой, что .

Определение 9.4: Группы и называются изоморфными, если существует взаимнооднозначное отображение такое, что .

Определение 9.5: – группа. Множество называется подгруппой группы , если является группой относительно операции, введенной в .

В группе вводится степень элемента : , . , – единица группы.

Теорема 9.2: – подгруппа , если:

1. , и .

2. , .

Теорема 9.3: Если и – подгруппы группы , то – подгруппа .

Определение 9.6: Подгруппа называется циклической подгруппой, – образующий элемент.

Определение 9.7: Пусть существует положительное число такое, что

1. .

2. Если , , то .

Тогда говорят, что есть элемент конечного порядка .

Теорема 9.4: Если порядок элемента равен , то .

Следствие: Если элемент имеет конечный порядок , то его циклическая подгруппа имеет тоже порядок .

Определение 9.8: Если циклическая подгруппа состоит из бесконечного числа элементов, то элемент называется элементом бесконечного порядка.

Определение 9.9: Группа называется циклической, если существует такой, что , называется образующим элементом группы .

Теорема 9.5: Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Все конечные циклические группы порядка изоморфны между собой.

Теорема 9.6: Всякая подгруппа циклической группы является циклической.