Теорема о вычислении определителя n-го порядка

Теорема 3.6: Пусть – фиксированная строка определителя , тогда , (то есть определитель равен сумме произведений элементов -ой строки определителя на их алгебраические дополнения).

Замечание: Данная теорема позволяет свести вычисление определителя -го порядка к вычислению определителя -го порядка. Причем, используя свойства определителя, можно получить в некоторой строке определителя все нули, кроме одного элемента.

Теорема Лапласа: Пусть в определителе порядка выбраны строк (или столбцов), . Тогда сумма произведений всех миноров -го порядка, содержащихся на пересечении выделенных строк, на их алгебраические дополнения равна .

Тема 4 Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему из линейных уравнений с неизвестными :

, (1)

где – коэффициент, который находится при -ом неизвестном в -ой строке.

Определение 4.1: Решением системы уравнений (1) называется всякий упорядоченный набор из чисел ( ) такой, что при подстановке в уравнения системы (1) вместо чисел получаются верные числовые равенства.

Определение 4.2: Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множества их решений равны.

Определение 4.3: Система (1) называется несовместной, если множество ее решений есть пустое множество.

Определение 4.4: Если система (1) имеет только одно решение, то она называется определенной. Если система (1) имеет более одного решения, то она называется неопределенной. Определенные и неопределенные системы называются совместными.

Перечислим элементарные преобразования системы (1), в результате которых будут получаться системы, равносильные данной:

1. Перестановка любых двух уравнений системы.

2. Перенумерация неизвестных системы.

3. Прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на некоторое число.

Это элементарные преобразования, используемые при решении системы (1) методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

Правило Крамера

Лемма 4.1: Пусть дано .

Рассмотрим произвольные числа , тогда сумма равна определителю, полученному из заменой -го столбца на столбец из чисел .

Следствие: .

Правило Крамера: Рассмотрим систему (1). Если и , то система (1) является определенной и , ( ).

Тема 5 n-мерное векторное пространство

Обозначим через множество вещественных или комплексных чисел, ( или ).

Рассмотрим упорядоченные -ки элементов из множества : , где , . Эти -ки называются строками (или столбцами) размерности и образуют множество , ( или ).

Определение 5.1: Пусть , , , .

Введем во множестве две операции:

1. Сложение: .

2. Умножение на число : .

Определение 5.2: Множество с введенными выше операциями сложения и умножения на число называется -мерным векторным пространством. Элементы этого пространства будем называть векторами.

: – множество вещественных чисел.

: – множество точек плоскости .

: – множество точек пространства .