Свойства изоморфных колец

1. ~ , ~ ~ .

2. ~ , – ноль кольца , – ноль кольца , – отображение, осуществляющее изоморфизм колец и , то .

3. , .

4. Если в существует , то в существует единица и , .

Следствие: Кольцо, изоморфное полю, является полем.

Тема 2 Комплексные числа

Рассмотрим декартово произведение , где – множество действительных чисел. .

Введем операции над парами действительных чисел:

Пусть , .

Тогда , .

Определение 2.1: Множество с введенными выше операциями сложения и умножения элементов называется множеством комплексных чисел и обозначается .

Определение 2.2: .

Теорема 2.1: Множество является полем.

Следствие 1: , .

Следствие 2: , где , , , .

Комплексные числа вида отождествляют с действительными числами, то есть .

Определение 2.3: Комплексное число называется мнимой единицей и .

Тригонометрическая форма комплексных чисел

Действительные числа – это точки на прямой линии, комплексные числа – это точки на плоскости.

Комплексному числу соответствует точка плоскости с координатами .

;

;

;

,

, – модуль комплексного числа , – аргумент , который определяется с точностью до слагаемого, кратного .

, , – не определен.

, .

, , .

Теорема 2.2: (Формула Муавра):

, .

Извлечение корней из комплексных чисел

Определение 2.3: Пусть . Корнем -й степени из называется число (обозначается ) такое, что .

Пусть , тогда , где , , .

Теорема 2.3: Все расширения поля вещественных чисел , полученные присоединением к полю корня уравнения изоморфны между собой.

Тема 3 Теория определителей Перестановки и подстановки

Определение 3.1: Пусть – конечное множество, состоящее из различных элементов. Расположение этих элементов в определенном порядке называется перестановкой.

Теорема 3.1: Количество различных перестановок из элементов равно .

Определение 3.2: Транспозицией называется такое преобразование перестановки, при котором меняются местами какие-либо два элемента перестановки, а остальные остаются на месте.

Элементы множества могут быть перенумерованы при помощи натуральных чисел , и так как в интересующих нас вопросах природа элементов множества нас не интересует, то мы примем, что элементами множества служат сами эти числа .

Теорема 3.2: Все перестановок из элементов можно расположить в таком порядке, что каждая следующая будет получаться из предыдущей одной транспозицией, причем начинать можно с любой перестановки.

Следствие: От любой перестановки можно перейти к любой другой перестановке при помощи конечного числа транспозиций.

Определение 3.3: Говорят, что в данной перестановке из первых натуральных чисел числа и образуют инверсию, если , но стоит в этой перестановке раньше .

Определение 3.4: Перестановка называется четной, если ее числа составляют четное число инверсий, и нечетной – в противном случае.

Теорема 3.3: Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

Теорема 3.4: Число четных перестановок равно числу нечетных перестановок из символов и равно .

Определение 3.5: Взаимно-однозначное отображение конечного множества на себя называется подстановкой.

Очевидно, что две перестановки, записанные одна под другой, задают подстановку.

Например: .

Определение 3.6: Подстановка, определяемая двумя перестанов-ками, называется четной, если четности перестановок совпадают, и нечетной – в противном случае.