МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. В. И. ВЕРНАДСКОГО

Кафедра алгебры и функционального анализа

Опорный конспект лекций

дисциплины

«Алгебра и геометрия»

для студентов 1-го курса дневной

и 2-го курса заочной форм обучения специальностей «информатика», «прикладная математика»

Составитель: кандидат физ.-мат. наук, доцент Кудряшов Ю. Л.

Симферополь 2010

Тема 1 Математические структуры Числовые кольца и поля

Определение 1.1: Непустое множество чисел называется кольцом, если это множество содержит произведение, сумму и разность любых двух чисел из этого множества.

Определение 1.2: Числовым полем называется числовое кольцо, которое содержит частное любых двух чисел из этого множества, (кроме деления на 0).

Теорема 1.1: Поле рациональных чисел содержится во всяком числовом поле, (то есть поле рациональных чисел – это минимальное числовое поле).

Кольцо

Пусть – множество элементов произвольной природы. Обозначим – декартово произведение, то есть множество упорядоченных пар , .

Определение 1.3: Пусть каждой паре поставлен в соответствие один, вполне определенный, элемент из (то есть задано отображение: ). Тогда говорят, что на множестве задана бинарная алгебраическая операция.

Будем операцию обозначать значком , где , то есть .

Определение 1.4: Множество называется замкнутым относительно операции , если выполняется: и .

Определение 1.5: Множество называется кольцом, если в нем определены две бинарные алгебраические операции и , удовлетворяющие следующим условиям:

1. Операции и коммутативны, то есть , .

2. Операции и ассоциативны, то есть , , .

3. Операции и связаны законом дистрибутивности: .

4. Операция имеет обратную операцию, (которую мы обозначим ). Это означает следующее: такой, что , ( .

Все числовые кольца являются кольцами. Операции , и будем в дальнейшем называть соответственно сложением, умножением и вычитанием.

Свойства кольца

1. В кольце определено сложение и умножение любого конечного числа элементов кольца.

2. .

3. Закон дистрибутивности для разности, то есть .

4. В каждом кольце существует единственный нулевой элемент, который обозначим 0 такой, что , .

5. существует единственный противоположный элемент такой, что . Обозначается .

6. .

7. .

8. , .

9. , .

10. Правила знаков: и .

Определение 1.6: Элементы , из кольца называются делителями нуля, если , , но .

Поле

Определение 1.7: Кольцо называется полем, если , , такой, что , называется частным элементов , и обозначается .

Свойства поля

Для поля выполнены все свойства кольца.

1. единичный элемент, который обозначим такой, что , , .

2. , существует обратный элемент, который обозначим такой, что .

3. .

4. , , . Положим .

5. .

6. , .

Определение 1.8: Пусть – поле, множество называется подполем поля , а называется расширением поля , если является полем относительно тех же операций и , относительно которых является полем.

Возьмем – подполе поля , рассмотрим элемент и .

Множество – является подполем и называется полем, полученным из поля присоединением к нему элемента .

Определение 1.9: Кольца и называются изоморфными ( ~ ), если существует взаимно-однозначное отображение на такое, что ,