2. Загальні теоретичні положення про рівняння

Систематичне вивчення теорії рівнянь розпочинається з 7-го класу.

Основна мета – систематизувати і узагальнити відомості про розв’язання рівнянь з однією змінною. Розширити поняття про рівняння, їх види та методи розв’язання.

У 7-му класі дається означення рівняння, вводяться основні поняття. Загальне поняття рівняння і його властивості вводяться індуктивно, а розгляд окремих видів рівнянь здійснюється з використанням елементів дедуктивних міркувань.

Клас	Зміст матеріалу	Основні поняття
7	Загальні відомості про рівняння. Властивості рівнянь	Рівняння, корінь (розв’язок) рівняння, розв’язати рівняння, ліва, права частини рівняння, рівносильність рівнянь.
	Лінійні рівняння з однією змінною ax=b. Лінійні рівняння з двома змінними ax+by=c. Системи лінійних рівнянь з двома змінними.	Графік лінійного рівняння,пара чисел розв’язку рівняння системи рівняння.
8	Квадратні рівняння. Дробово-раціональні рівняння.
9	Біквадратне рівняння. Нелінійні системи рівнянь.

Означення 1. Рівняння f(x)= (х) називається алгебраїчним, якщо f(x) і (х) – многочлени. Рівняння називається дробово-раціональним, якщо f(x) і (х) – раціональні функції, причому хоча б одна з них дробово-раціональна відносно змінної х.

Означення 2. Рівняння називається ірраціональним, якщо f(x) і (х) – елементи алгебраїчної функції і хоча б одна з них ірраціональна відносно змінної х.

Означення 3. Рівняння називається трансцендентним, якщо (x) і (х) – елементи функції і хоча б одна з них трансцендентна відносно змінної х.

Класифікація рівнянь

Рівняння

Раціональні

Ірраціональні

Трансцендентні

Алгбраїчні

Дробово-

раціональні

Розв’язати рівняння можна на різних теоретичних основах.

Є такі способи розв’язання рівнянь в основній школі:

1. на основі залежностей між компонентами та результатами дій;

2. за властивостями рівностей;

3. за теоремами про рівносильність рівнянь;

4. графічний спосіб.

У 8-му класі вивчаються рівняння із змінною у знаменнику. Розв’язувати їх можна двома способами:

1) зведення рівняння до виду =0, яке зводиться до системи

f(x)=0

g(x) 0;

2) зведення до виду = , яке зводиться до системи

f (x)=f₁(x)

g(x) 0.

Означення 1. Рівняння P_n(x)=0, де P_n(x) – ціла раціональна функція n-го степеня, називається алгебраїчно раціональним рівнянням n-го степеня.

Наприклад. 2х+7=0, 3х²-5х+8=0, 5х³-4х²+2=0.

Раціональні рівняння поділяються на:

1. Лінійні рівняння – рівняння виду ax+b=0, де a і b – деякі числа, причому а 0. Його ще називають рівнянням першого степеня (бо має єдиний розв’язок х=- ). Якщо не має умови а 0, називається лінійним рівнянням, яке має більше розв’язків:

а) а 0, ax+b=0 х=- ;

б) а=0, b=0, ax+b=0 хєR;

в) а=0, b 0, ax+b=0 хє .

2. Квадратні рівняння – це рівняння виду ax²+bx+c=0, де a,b,c – деякі числа, причому а 0.

Розрізняють повні та неповні квадратні рівняння.