Задачи для контрольных заданий
Задачи 1–10. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным способом.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Задачи 11–20. Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задание 1
Решить матричное уравнение относительно неизвестной матрицы Х, если матрицы А, В, С, D, Е имеют вид:
,
,
,
,
.
(символом Т обозначена транспонированная матрица)
АВ+2С=ЕХ, 6. СВТ=2А-Х,
D2-3ВА=2Х, 7. (АВ)Т+С=3Х,
(ВА)2=2DТ-Х, 8. 3DАТ=В+2Х,
СА-3ВТ=2Х, 9. АDТ+3ВТ=2Х,
DТВ=2АТ+2Х, 10. (АВ)2+Х=СВ-Е.
Задание 2.
Доказать совместность системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему двумя способами: а) по формулам Крамера, б) методом последовательного исключения неизвестных (Гаусса).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Задание 3.
Даны координаты пирамиды А1, А2, А3, А4.
Найти:
длину ребра А1, А2;
угол между ребрами А1, А2 и А1, А4;
площадь грани А1, А2, А3;
объем пирамиды;
уравнение прямой А1, А2;
уравнение плоскости А1, А2, А3.
Задание 4
Задача 4.
Задача на применение матриц в экономике
Найти
общую стоимость сырья, планируемую для
производства продукции двух видов
и
,
если план выпуска продукции задан
матрицей
;
нормы расхода сырья трех типов
,
,
на единицу продукции
заданы
матрицей
и известна стоимость сырья каждого вида
– матрица
.
4.1.
,
,
4.2.
,
,
4.3.
,
,
4.4.
,
,
4.5.
,
,
4.6.
,
,
4.7.
,
,
4.8.
,
,
4.9.
,
,
4.10. , ,
4.11.
,
,
4.12.
,
,
4.13.
,
,
4.14.
,
,
4.15.
,
,
4.16.
,
,
4.17.
,
,
4.18.
,
,
4.19.
,
,
4.20. , ,
Задача 5.
Даны
точки А, В, С, D.
Найти координаты и длину вектора 
.
Построить вектор
.
5.1.
А(-1,0 ,2 ), В( 1,2 ,1 ), С(3 , 7,-1 ), D(4
,6 ,5 ),
5.2.
А(2,0,-1), В(-1,2,1), С(-1,3,7), D(5,6,4),
5.3.
А(2,2,0), В(1,-2,1), С(3,-2,5), D(0,4,-2),
5.4.
А(0,-1,2), В(3,1,0), С(-3,0,0), D(4,5,-6),
5.5.
А(1,2,3), В(2,-1,0), С(3,0,3), D(7,-2,5),
5.6.
А(2,-3,1), В(0,2,2), С(-1,-1,0), D(0,6,0),
5.7.
А(0,1,4), В(3,-2,7), С(2,5,-3), D(4,4,0),
5.8.
А(3,4,3), В(0,0,1), С(2,7,6), D(5,-1,-2),
5.9.
А(4,0,1), В(6,-2,5), С(-3,0,-3), D(7,1,2),
5.10.
А(0,2,-3), В(1,-4,-6), С(7,2,2), D(0,5,0),
5.11. А(-1,0 ,2 ), В( 1,2 ,1 ), С(3 , 7,-1 ), D(4 ,6 ,5 ),
5.12. А(2,0,-1), В(-1,2,1), С(-1,3,7), D(5,6,4),
5.13. А(2,2,0), В(1,-2,1), С(3,-2,5), D(0,4,-2),
5.14. А(0,-1,2), В(3,1,0), С(-3,0,0), D(4,5,-6),
5.15. А(1,2,3), В(2,-1,0), С(3,0,3), D(7,-2,5),
5.16. А(2,-3,1), В(0,2,2), С(-1,-1,0), D(0,6,0),
5.17. А(0,1,4), В(3,-2,7), С(2,5,-3), D(4,4,0),
5.18. А(3,4,3), В(0,0,1), С(2,7,6), D(5,-1,-2),
5.19. А(4,0,1), В(6,-2,5), С(-3,0,-3), D(7,1,2),
5.20. А(0,2,-3), В(1,-4,-6), С(7,2,2), D(0,5,0),
Задача 1.
Решить матричное уравнение относительно неизвестной матрицы Х , если А, В, С, D, E - заданные матрицы:
1.9. (A·B)T - 3·C = X
(A·B)T - 3·C = X
Задача 2.
Доказать, что данная система линейных уравнений имеет единственное решение. Найти по формулам Крамера. Сделать проверку.
2.9.
Запишем основную и расширенную матрицы для данной системы линейных уравнений, а также столбец свободных членов
Найдем определитель основной матрицы
Так как найденный определитель отличен от нуля, то ранг матрицы А=3
Данный
определитель является минором матрицы
, rang
A=rang
=3,
система совместна и имеет единственное
решение.
Найдем решение системы методом Крамера:
|
Проверка
Задача 3.
Методом исключения ( методом Гаусса) исследовать совместность системы линейных уравнений и найти все ее решения.
3.9.
Решение:
Задача 4.
Задача на применение матриц в экономике
Найти общую стоимость сырья, планируемую для производства продукции двух видов и , если план выпуска продукции задан матрицей ; нормы расхода сырья трех типов , , на единицу продукции заданы матрицей и известна стоимость сырья каждого вида – матрица .
4.9.
,
,
Общий расход материала
Общая стоимость заказа
150*1+70*2+140*1=430
Задача 5.
Даны точки А, В, С, D. Найти координаты и длину вектора . Построить вектор .
5.9. А(4,0,1), В(6,-2,5), С(-3,0,-3), D(7,1,2),
решение:
с(32;1;19)
z
у
х