Решение плоских треугольников

Стандартные обозначения в треугольнике

У треугольника общего вида имеется 6 основных характеристик: 3 линейные (длины сторон  ) и 3 угловые ( ), см. рисунок. В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому будем считать, что хотя бы одна из известных величин — линейная.

Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Далее будем символически обозначать заданные величины С (сторона) и У (угол). Поскольку сочетание УУУ исключено из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов^[2]:

• Три стороны (ССС);

• Две стороны и угол между ними (СУС);

• Две стороны и угол не между ними (ССУ);

• Сторона и два прилежащих угла (УСУ);

• Сторона, противолежащий угол и один из прилежащих (УУС).

Заданы три стороны

Три стороны[править | править исходный текст]

Пусть заданы длины всех трёх сторон  . Чтобы найти углы  , воспользуемся теоремой косинусов^[3]:

Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна 180°.

В некоторых источниках предлагается второй угол найти по теореме синусов, но, как указано в вышеприведенном замечании 1, при этом существует опасность спутать тупой угол с острым.

Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам: использование теоремы котангенсов.

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними[править | править исходный текст]

Пусть, для определённости, известны длины сторон   и угол   между ними. Для определения длины стороны   вновь воспользуемсятеоремой косинусов^[4]:

Мы фактически свели задачу к предыдущему случаю. Далее воспользуемся теоремой косинусов для нахождения второго угла:

Третий угол  .

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол не между ними[править | править исходный текст]

Этот случай самый сложный и неоднозначный. Пусть, например, известны две стороны   и угол  . Уравнение для угла   найдём изтеоремы синусов^[5]:

Для краткости обозначим   (правая часть уравнения). При решении уравнения возможны 4 случая^[6].

1. Если  , такого треугольника не существует (сторона   «не достаёт» до линии BC).

2. Если  , существует единственное решение, причём треугольник прямоугольный, 

Два возможных решения

3. Если  , то возможны 2 варианта.

   1. Если  , то угол   имеет два возможных значения: острый угол   и тупой угол  . На рисунке справа первому значению соответствуют точка  , сторона   и угол  , а второму значению — точка  , сторона  и угол  .

   2. Если  , то   (как известно, большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол). Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для   исключён, и решение  единственно.

Третий угол находится как обычно:  . Третью сторону можно найти по теореме синусов:

Заданы сторона и прилежащие к ней углы