Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника

Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).

Рис.1

Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.

Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).

Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Доказательство следствия проводится методом от противного.

Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.

Из теоремы 2 получаем

Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.

Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:  АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.

Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

где R - радиус описанной окружности.

Теорема косинусов

Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Решить треугольник - значит найти все его шесть элементов: три стороны и три угла.

Длина высоты, медианы, биссектрисы

Длина высоты треугольника АВС, проведенной из вершины А определяется по формуле:

Длина медианы треугольника АВС, проведенной из вершины А определяется по формуле:

Длина биссектрисы треугольника АВС, проведенной из вершины А определяется по формуле:

Если a₁, a₂ являются длинами отрезков, на которые биссектриса угла А делит сторону ВС, то

 Замечательные точки и линии треугольника Точка пересечения биссектрис Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Любой треугольник имеет три биссектрисы. Теорема: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство: Обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА₁ и ВВ₁ треугольника ABC и проведем из этой точки перпендикуляры OK, OL и ОМ соответственно к прямым АВ, ВС и СА. По теореме каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон, значит ОК=ОМи OK=OL. Поэтому ОМ = OL, т. е. точка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе CС₁ этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке О, что и требовалось доказать. Точка пересечения высот. Высотой называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Теорема: Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан. Медианой называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Теорема: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Точка пересечения серединных перпендикуляров. Серединным перпендикуляром называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.  Теорема: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Пусть дан треугольник ABC. ^ Точкой Торричелли этого треугольника называется такая точка О внутри треугольника, из которой стороны данного треугольника видны под углом 120° , то есть углы АОВ, АОС и ВОС равны 120°. Пусть в треугольнике АВС Н - точка пересечения высот треугольника; точки A₁, B₁, C₁ обозначают основания высот; А₂, В₂, С₂ — середины соответствующих сторон; А₃, В₃, С₃ — середины отрезков АН, ВН и СН. Тогда точки А₁, В₁, С₁, А₂, В₂, С₂, А₃, В₃, С₃ лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера.  В треугольнике центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера. 

2.решение треугольника