2. Основні теоретичні відомості

2.1 Передатна функція

Однією із основних характеристик об’єкта керування, що використовується в теорії автоматичного керування, являється передатна функція, записана в термінах перетворення Лапласа.

Передатною функцією об’єкта називається відношення перетворення за Лапласом виходу об’єкта до перетворення за Лапласом входу за нульових початкових умов.

Передатна функція визначається тільки внутрішніми властивостями системи, являється функцією комплексної змінної і позначається:

(2.1)

а) б)

в)

Рис. 2.1 Приклади об’єктів

а – з одним входом і одним виходом; б – двома входами і одним виходом;

в – двома входами і двома виходами

Передатна функція характеризує динаміку об’єкта тільки по певному каналу, який зв’язує конкретний вхід об’єкта і конкретний вихід (рис. 2.1).

Якщо об’єкт має декілька входів і виходів, то він характеризується декількома передатними функціями, визначити які можна безпосередньо, користуючись формулою (2.1).

Приклад. Нехай на вхід об’єкта подається сигнал а на виході знімається сигнал, що описується функцією

Для визначення передатної функції необхідно визначити тоді передатна функція

Як і диференціальні рівняння, передатна функція повністю характеризує динаміку лінійного об’єкта. Якщо задане диференціальні рівняння об’єкта, то для отримання передатної функції необхідно перетворити диференціальні рівняння по Лапласу і із отриманого алгебраїчного рівняння знайти відношення

В загальному випадку диференціальні рівняння об’єкта представляється у вигляді:

(2.2)

де постійні коефіцієнти.

Після перетворення за Лапласом за нульових початкових умов отримують:

або

і тоді

(2.3)

Якщо відома передатна функція об’єкта, то зображення виходу об’єкта дорівнює добутку передатної функції на зображення входу

(2.4)

Останній запис є загальною формою запису диференціального рівняння в операторній формі.

Таким чином, передатна функція дорівнює відношенню двох поліномів:

де

Для реальних фізичних об’єктів можна відмітити як характерну особливість той факт, що степінь полінома завжди менше або рівний степеню полінома тобто так що

2.2 Частотні характеристики

Важливу роль при опису лінійних систем відіграють частотні характеристики, що характеризують реакцію об’єкта (системи) на гармонійний сигнал.

Основною частотною характеристикою являється амплітудно-фазова характеристика (АФХ), яка може бути визначена через конформне відображення.

Амплітудно-фазовою характеристикою називається конформне відображення уявної осі площини коренів характеристичного рівняння на комплексну площину амплітудно-фазової характеристики (рис. 2.2), причому сама уявна вісь відображається в годограф АФХ, права ж напівплощина коренів характеристичного рівняння відображається у внутрішню область АФХ.

Рис. 2.2 До визначення АФХ

Амплітудно-фазова характеристика являється комплексною функцією, тому вона може бути, як і будь-яка комплексна функція, представлена в показниковій формі

(2.5)

В алгебраїчній формі

(2.6)

Модуль в показниковій формі запису АФХ називається амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ), а фаза або аргумент називається фазочастотною характеристикою (ФЧХ).

Дійсна частина амплітудно-фазової характеристики називається дійсною частотною характеристикою (ДЧХ).

Уявна частина амплітудно-фазової характеристики називається уявною частотною характеристикою (УЧХ).

Між усіма частотними характеристиками існує зв’язок. Знаючи один з них, можна визначити інші, тобто

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)