4.5. Двигатель постоянного тока независимого возбуждения

При постоянном внешнем возбуждении (указано в задании) скорость вращения вала двигателя n (выходная величина) зависит от падений входного напряжения U_вх в цепи якоря и внешних механических усилий на валу, поэтому для описания его работы и вывода передаточной функции необходимо иметь два исходных дифференциальных уравнения.

Первое уравнение может быть получено на основании записи второго закона Кирхгофа для цепи якоря:

L_я (dI_я / dt) + R_я I_я + С_е Ф n = U_вх, (4.13)

где L_я – индуктивность обмотки якоря; I_я – ток в обмотке якоря; R_я – активное сопротивление обмотки якоря; n – обороты вала двигателя (выходная величина); Ф – магнитный поток обмотки возбуждения (Ф = const); U_вх – напряжение на обмотке якоря (входная величина); С_е – коэффициент пропорциональности.

Второе уравнение запишем на основании закона равновесия моментов на валу якоря, оно имеет вид:

С_мФ I_я – J (dn / dt) = M, (4.14)

где С_м – коэффициент пропорциональности; J – приведенный момент инерции вала двигателя; M – момент сопротивления на валу якоря.

Для приращений переменных параметров с учетом малых отклонений при условии постоянства магнитного потока обмотки возбуждения и отсутствии возмущающего воздействия (M = 0) можно записать следующую систему уравнений:

L_я (dI_я / dt) + R_я I_я + С_е n = U_вх, (4.15)

С_м I_я – J (dn / dt) = 0.

Из второго уравнения системы имеем:

I_я = (J / С_м) (dn / dt). (5.16)

Подставляем выражение (5.16) в первое уравнение системы (5.15) и переходим к операторной форме записи, в результате чего получим:

. (4.17)

Разделим обе части уравнения на C_е и перегруппируем слагаемые:

. (4.18)

Вводим новые обозначения и переходим к стандартной форме записи дифференциального уравнения:

(T_яT_м p² + T_м p + 1) n = k_д U_вх , (4.19)

где T_я – постоянная времени цепи якоря (T_я = L_я / r_я); T_м – электромеханическая постоянная времени двигателя (T_м = J r_я / (C_м C_e)); k_д – коэффициент передачи двигателя (k_д = 1 / C_е).

Передаточная функция двигателя независимого возбуждения, как апериодического звена второго порядка, имеет вид:

w_д(p) = k_д / (T_яT_м p² + T_м p + 1), (4.20)

или

w_д(p) = k_д / (T₃ p+ 1)(T₄ p + 1), (4.21)

где T_3,4 – новые постоянные времени двигателя, определяемые по выражению:

. (4.22)

4.7. Инерционное форсирующее звено

Представленное на рис. 4.2. инерционное форсирующее звено представляет собой делитель входного напряжения U_вх. Выходное напряжение снимается со второго плеча делителя – сопротивления R₂.

П

Рис. 4.2. Инерционное форсирующее звено

ередаточная функция для делителя напряжения будет определяться следующим выражением:

w_фз(p) = z₂(p) / (z₁(p) + z₂(p)), (4.23)

где z₂(p) = R₂ полное сопротивление второго (выходного) плеча делителя см. рис. 4.2.; z₁(p) = R₁ (1 / pC) / (R₁ + (1 / pC)) – полное сопротивление первого плеча делителя, здесь 1 / pC – операторная форма записи полного сопротивления на емкости С.

Подставим z₁(p) и z₂(p) и выполним перегруппировку в выражении передаточной функции (4.23), получим:

. (4.24)

Разделим слагаемые в числителе и знаменателе (4.24) на (R₁ + R₂). Введем коэффициент передачи k_фз = R₂ / (R₁ + R₂) и постоянные времени Т₁ = R₁ С и Т₂ = (R₁ R₂) С / (R₁ + R₂). В итоге получим передаточную функцию инерционного форсирующего звена в операторной форме:

. (4.25)