8. Анализ устойчивости сар по логарифмическим частотным характеристикам

8.1. Общие положения

Если прологарифмировать выражение частотной передаточной функции разомкнутой системы, то получится комплексное число, вещественная часть которого является логарифмом модуля частотной передаточной функции, а мнимая его фазой:

ln W(j) = ln A() + j (), (8.1)

где W(j) – частотная передаточная функция разомкнутой САР; A() – модуль частотной передаточной функции (отношение амплитуды выходного и входного сигнала); () – аргумент частотной передаточной функции (фазовый сдвиг выходного сигнала по отношению к входному).

В практических целях обычно используется десятичный логарифм, и отдельно строятся логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФХ).

Построение производится на специальной стандартной сетке.

По горизонтальной оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе, то есть наносятся отметки равные lg(, а около отметок пишется значение частоты  в герцах.

Для построения ЛАХ по вертикальной оси ординат с равномерным масштабом, откладывается модуль в децибелах. ЛАХ строится по выражению:

L() = 20 lg A(). (8.2)

Бел представляет собой логарифмическую единицу соответствующую десятикратному увеличению мощности сигнала (1 Бел увеличение мощности в 10 раз, 2 Бела – 100 раз и т.д.). Один децибел равен одной десятой части бела. Так как модуль частотной передаточной функции A() является отношением не мощностей, а самих сигналов, то увеличение этого отношения в 10 раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в 100 раз, т.е. 2 белам или 20 децибелам. Поэтому в правой части выражения (7.2), применяемого для построения ЛАХ, присутствует сомножитель – 20.

Для построения ЛФХ используется аналогичная ось абсцисс (частот) с логарифмическим масштабом. По оси ординат ЛФХ откладывается фазовый сдвиг в градусах и равномерным масштабом.

Точку нуля децибел для ЛАХ совмещают с фазовым сдвигом минус сто восемьдесят градусов для ЛФХ.

Ось ординат может пересекать ось абсцисс в любом удобном месте. Следует учесть, что точка  = 0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как lg (0)  -, поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход ЛАХ (левее самой малой сопрягающей частоты ЛАХ).

Передаточную функцию разомкнутой системы (см. формулу (6.2)) обычно приводят к произведению простых сомножителей (полином первой степени) в числителе и знаменателе.

Для рассматриваемого примера имеем:

, (8.3)

где T_ов – постоянная времени обмотки возбуждения генератора; T_3,4 – новые (не из бланка задания) постоянные времени двигателя, определяемые по выражению (4.22):

Частотная передаточная функция разомкнутой системы может быть легко найдена из соответствующей передаточной функции, записанной в операторной форме, подстановкой значения p = j. Выполнив подстановку, получим следующее выражение:

. (8.5)

Модуль данной частотной передаточной функции будет выглядеть так:

, (8.6)

а аргумент так:

( = 0 – arctg T_ов – arctg T₃ – arctg T₄ . (8.7)