7.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Оценка устойчивости в нем выполняется на основании анализа характеристического уравнения системы. Для характеристического уравнения составляют квадратную матрицу коэффициентов, содержащую n строк и n столбцов, где n – показатель степени полинома характеристического уравнения.

При построении матрицы руководствуются следующими правилами.

1. По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов записываются все коэффициенты по порядку от а₁ до а_n.

2. Каждая строка матрицы дополняется коэффициентами с возрастающими слева направо индексами так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами (1 – нечетные, 2 – четные и т. д.).

3. В случае отсутствия коэффициента для подстановки в строку - если его индекс меньше нуля или больше n, в матрицу пишется ноль.

(7.1)

После построения матрицы из нее выделяют определители Гурвица (диагональные миноры)₁ … _n, их число равно n. Последний определитель _n включает в себя всю матрицу.

Критерий устойчивости Гурвица в общем виде сводится к тому, что при положительности коэффициента при старшей степени a₀ (см. формулу (6.5)) должны быть больше нуля все n квадратичных определителей Гурвица, где n ‑ показатель степени полинома характеристического уравнения. Если хотя бы один из определителей меньше нуля, то система будет не устойчивой.

Для рассматриваемого примера три определителя Гурвица будут иметь вид:

; (7.2)

; (7.3)

. (7.4)

В пояснительной записке курсового проекта необходимо привести матрицу, все n диагональных минора с вычисленными значениями и обязательно сделать вывод об устойчивости либо неустойчивости САР.

7.3.Частотный критерий устойчивости Михайлова

Оценка устойчивости с использованием критерия устойчивости Михайлова также выполняется на основании анализа характеристического уравнения системы.

Рассмотрим отдельно левую часть характеристического уравнения САР – характеристический полином D(p), подробно см. [1]:

D(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 + … + a_n-1p + a_n. (7.5)

Подставим в этот полином значение p = jгде  – угловая частота синусоидальных колебаний. В этом случае мы получим характеристический комплекс:

D(j) = X() + j Y(), (7.6)

г

Рис. 6.1. Годограф Михайлова

де X() – вещественная часть D(j) содержащая четные степени ; Y() ‑ мнимая часть D(j) содержащая нечетные степени . Задаваясь значениями частоты от нуля до бесконечности на комплексной плоскости (см. рис. 6.1) строят годограф Михайлова.

Критерий устойчивости Михайлова формулируется следующим образом: для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечности, начавшись на положительной полуплоскости и не пересекая начала координат, последовательно, против часовой стрелки, пересек столько квадрантов комплексной плоскости, какой порядок имеет полином характеристического уравнения системы.

Если годограф нарушил последовательный порядок пересечения квадрантов или пересек их меньше чем n – система будет неустойчивой. Границы устойчивости рассмотрены в теоретическом курсе [1].

Оценим устойчивость системы в рассматриваемом примере. В имеющееся характеристическое уравнение третьей степени см. (6.5) подставим p = j:

a₀(j)³ + a₁(j)² + a₂(j) + a₃ = 0. (7.7)

Затем разложим (7.7) на вещественную и мнимую части, в результате получим:

X() = a₃ – a₁ ²; Y() =  (a₂ – a₀ ²). (7.8)

По формулам (7.8), задавая частоту от нуля до бесконечности, строим кривую Михайлова. Построение (увеличение ) продолжаем до тех пор, пока не станет ясно, что годограф из текущего квадранта не выйдет.

В пояснительной записке необходимо привести исходные формулы аналогичные (7.7) и (7.8), график годографа и обязательно сделать вывод об устойчивости либо неустойчивости САР.