Контрольные вопросы

1. Опишите линейные и нелинейные САР.

2. Дайте определение линеаризации и объясните ее необходимость.

3. Что является основанием для линеаризации?

4. Изложите общий метод линеаризации.

5. Опишите стандартную форму записи дифференциальных уравнений.

3. Динамические звенья и их характеристики

3.1. Общие положения

Для создания общей методики расчета различных систем автоматического регулирования удобно ввести понятие типового динамического звена.

Типовым динамическим звеном называют устройство любого физического вида и конструктивного содержания, описываемое определённым типом дифференциального уравнения.

В

Рис. 3.1. Динамическое звено

соответствии с этим классификация звеньев производится именно по виду дифференциального уравнения. Одним и тем же уравнением могут описываться весьма разнообразные устройства (механические, электрические, гидравлические и т. д.). Для теории автоматического управления это будет один и тот же тип звена.

Обозначим входную величину звена через х₁, выходную – через х₂, а возмущающее воздействие – через f (рис. 3.1).

Статическая характеристика любого звена может быть изображена в виде прямой линии (рис. 3.2), так как пока будем рассматривать только линейные, или точнее – линеаризованные САР.

В звеньях позиционного или статического типа линейной зависимостью х₂ = k х₁ связаны выходная и входная величины в установившемся режиме (рис. 3.2, а). Коэффициент пропорциональности k между выходной и входной величинами в установившемся режиме представляет собой коэффициент передачи эвена.

Рис. 3.2. Характеристики позиционных звеньев

В звеньях интегрирующего типа линейной зависимостью dx₂ / dt = kx₁ связаны производная выходной величины и входная величина в установившемся режиме (рис. 3.2, б). В этом случае для установившегося режима будет справедливым равенство , откуда и произошло название этого типа звеньев. Коэффициент пропорциональности k также называется коэффициентом передачи звена. Если входная и выходная величины звена имеют одинаковую размерность, коэффициенту передачи соответствует размерность – секунда в минус первой степени (с^-1).

В звеньях дифференцирующего типа линейной зависимостью x₂ = k dx₁ / dt связаны выходная величина и производная входной величины (рис. 3.2, в) в установившемся режиме. Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом передачи звена. Если входная и выходная величины имеют одинаковую размерность, коэффициенту передачи соответствует размерность – секунда (с).

3.2. Передаточные функции динамических звеньев

Для того чтобы описать все режимы работы звена как в установившемся режиме, так и в динамике, вводят понятие передаточной функции звена. Эта функция получается из дифференциального уравнения динамического звена. Рассмотренный ранее коэффициент передачи k есть ее частный случай для установившегося режима.

Как уже отмечалось ранее, классификация звеньев в теории автоматического управления производится по виду дифференциального уравнения или, что равнозначно, по виду его передаточной функции.

Предположим, что звено, изображенное на рис. 3.1, описывается дифференциальным уравнением, представленным в стандартной форме записи [см. уравнение (2.9)]:

. (3.1)

Передаточная функция звена при нулевых начальных условиях и при отсутствии внешнего возмущения (f = 0) есть отношение изображений по Лапласу-Карсону выходной и входной величин:

, (3.2)

где w(p) – передаточная функция звена в операторной форме; x₁(p) и x₂(p) – изображения по Лапласу–Карсону выходной и входной величин соответственно; p – оператор Лапласа [уравнение (2.7)]; k₁ – коэффициент передачи звена; T₁, T₂ и T₃ – постоянные времени [уравнения (2.6) и (2.9)]. Нулевые начальные условия означают, что при времени t < 0 входная и выходная величины, а также все их производные тождественно равны нулю.

При известной передаточной функции выходная величина может быть найдена из выражения

. (3.3)

Аналогичным образом может быть получена передаточная функция звена по возмущению. Для этого нужно положить при нулевых начальных условиях входное воздействие звена равным нулю (х₁ = 0), тогда искомая передаточная функция будет равна отношению изображений по Лапласу–Карсону выходной величины и внешнего возмущения

. (3.4)

В дальнейшем будем рассматривать только первую передаточную функцию звена, так как именно она даёт связь между входной и выходной величинами, что бывает необходимо знать при использовании звена в САР.

Для того чтобы описать все режимы работы звена, используется понятие его передаточной функции, но по одной формуле достаточно сложно представить как звено влияет на передачу сигнала со своего входа на выход. Для этого очень хорошо подходят различные характеристики в виде графиков. При анализе САР желательно представлять свойства различных типовых динамических звеньев в одинаковых условиях. Поэтому для визуализации свойств различных звеньев на их входы подают так называемые типовые входные воздействия.