2.2. Общий метод линеаризации

В

Рис. 2.2. Звено САР

большинстве случаев можно линеаризовать нелинейные зависимости, используя метод малых отклонений или вариаций. Для рассмотрения его обратимся к некоторому звену системы автоматического регулирования (рис. 2.2). Входная и выходная величины обозначены через функции времени X₁(t) и X₂(t), а внешнее возмущение – через F(t).

Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением динамики звена:

, (2.1)

где func – знак функции от переменных X₁(t), X₂(t) и их производных, аргумент t (время) в уравнении и далее опущен для упрощения внешнего вида формул.

Для составления уравнения (2.1) нужно использовать соответствующую отрасль технических наук, изучающую этот конкретный вид звена (электротехнику, механику, гидравлику и т. п.). Мы рассматриваем обобщенный вид звена, поэтому уравнение (2.1) выглядит как «func».

Основанием для линеаризации служит предположение о достаточной малости отклонений всех переменных, входящих в уравнение динамики звена, так как именно на достаточно малом участке криволинейную характеристику можно заменить отрезком прямой. Это математическое допущение не противоречит физическому смыслу задачи, так как сама идея автоматического регулирования требует, чтобы все отклонения регулируемой величины в процессе работы были малыми.

Малые отклонения переменных отсчитываются от их значений в установившемся режиме или в определенном равновесном состоянии всей системы.

Введем малые отклонения для всех переменных уравнения (2.1). Пусть, например, установившийся процесс характеризуется постоянным значением переменной Х₁, которое обозначим x₁₀. В процессе регулирования (рис. 2.3) переменная Х₁ будет отклоняться от установившегося значения в малом диапазоне:

,

где обозначает малое отклонение переменной X₁ от установившегося значения x₁₀.

А

Рис. 2.3. Статическая характеристика звена

налогичные соотношения введем для других переменных в уравнении звена:

,

.

Так как и , можно записать:

,

,

.

Установившееся состояние звена определяется значениями:

.

Тогда уравнение (2.1) может быть записано для установившего состояния в виде:

. (2.2)

Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора

(2.3)

где  – члены высшего порядка ряда Тейлора. В состав  входят высшие частные производные, умноженные на квадраты, кубы и более высокие степени отклонений, а также произведения отклонений. Они будут малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка. Обычно в математике малостями высшего порядка можно пренебречь. Индекс «0» при частных производных означает, что после взятия производной в её выражение надо подставить установившееся значение всех переменных.

Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме.

Отбросим в уравнении (2.3) малые высшего порядка, после чего из него вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях:

(2.4)

В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, т. е. в первой степени. Все частные производные представляют собой некоторые постоянные коэффициенты в том случае, если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.

Получение уравнения (2.4) является целью проделанной линеаризации.

В теории автоматического регулирования принято записывать уравнения всех звеньев так, чтобы в левой части уравнения была выходная величина, а все остальные члены переносятся в правую часть. При этом все члены уравнения делятся на коэффициент при выходной величине. В результате уравнение (2.4) принимает вид:

(2.5)

где введены следующие обозначения:

(2.6)

Кроме того, для удобства принято все дифференциальные уравнения записывать в операторной форме с обозначениями

и т. д., (2.7)

где р – оператор Лапласа, заменяющий действие дифференцирования и интегрирования.

С учетом (2.7) дифференциальное уравнение (2.5) запишется в виде:

. (2.8)

Эту форму дифференциального уравнения динамики звена будем называть стандартной формой записи.

Коэффициенты Т₁ и Т₂ в (2.8) имеют размерность времени – секунды [см. (2.6)] . Поэтому коэффициенты Т₁ и Т₂ называют постоянными времени.

Коэффициент k₁ имеет размерность выходной величины, деленную на размерность входной. Он называется коэффициентом передачи звена. Для звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, для k₁ используют термины:

• коэффициент усиления – для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель;

• передаточное число – для редукторов, делителей напряжения, масштабирующих устройств и т. п.

Коэффициент передачи характеризует статические свойства звена, так как в установившемся состоянии . Следовательно, он определяет крутизну статической характеристики при малых отклонениях. Если обозначить всю реальную статическую характеристику звена , то линеаризация дает или . Коэффициент передачи k₁ будет представлять собой тангенс угла наклона  касательной в точке C (см. рис. 2.3), от которой отсчитываются малые отклонения х₁ и х₂.

Из рисунка видно, что проделанная выше линеаризация уравнения справедлива для процессов регулирования, захватывающих такой участок характеристики АВ, на котором касательная мало отличается от самой кривой.

Кроме того, отсюда вытекает другой, графический способ линеаризации. Если известна статическая характеристика и точка C, определяющая установившееся состояние, около которого происходит процесс регулирования, то коэффициент передачи в уравнении звена определяется графически из чертежа по зависимости k₁ = tg  c учетом масштабов чертежа и размерности x₂. Во многих случаях графический метод линеаризации оказывается более удобным и быстрее приводит к цели.

Размерность коэффициента k₂ равна размерности коэффициента передачи k₁, умноженной на время. Поэтому часто уравнение (2.8) записывают в виде:

, (2.9)

где T₃ = k₂ / k₁ – новая постоянная времени.

П

Рис. 2.4. Двигатель

независимого возбуждения

остоянные времени Т₁, Т₂ и Т₃ определяют динамические свойства звена. Этот вопрос будет рассмотрен подробно в разд. 3.

Коэффициент k₃ представляет собой коэффициент передачи по внешнему возмущению.

В качестве примера линеаризации рассмотрим электрический двигатель, управляемый со стороны цепи возбуждения (рис. 2.4).

Для нахождения дифференциального уравнения, связывающего приращение скорости с приращением напряжения на обмотке возбуждения, запишем закон равновесия электродвижущих сил (эдс) в цепи возбуждения, закон равновесия эдс в цепи якоря и закон равновесия моментов на валу двигателя:

;

; (2.10)

.

где R_В и R_Я – сопротивления цепи возбуждения и цепи якоря; І_В и І_Я – токи в этих цепях; U_В и U_Я – напряжения, приложенные к этим цепям; _В – число витков обмотки возбуждения; Ф – магнитный поток;  – угловая скорость вращения вала двигателя; М – момент сопротивления от внешних сил; J – приведенный момент инерции двигателя; С_Е и С_М – коэффициенты пропорциональности.

Во втором уравнении для упрощения опущен член, соответствующий эдс самоиндукции в цепи якоря.

Допустим, что до появления приращения напряжения, приложенного к обмотке возбуждения, существовал установившийся режим, для которого уравнения (2.10) запишутся следующим образом:

(2.11)

Если теперь напряжение возбуждения получит приращение U_В = U_В0 + U_В, то все переменные, определяющие состояние системы, также получат приращения. В результате будем иметь: І_В = І_В0 + І_В; Ф = Ф₀ + Ф; I_Я = I_Я0 + І_Я;  = ₀ + .

Подставляем эти значения в (2.10), отбрасываем малые высшего порядка и получаем

(2.12)

Вычитая из уравнений (2.12) уравнения (2.11), получим систему уравнений для отклонений:

Рис. 2.5. Кривая намагничивания

(2.13)

В этих уравнениях введен коэффициент пропорциональности между приращением потока и приращением тока возбуждения определяемый из кривой намагничивания электродвигателя (рис. 2.5).

Совместное решение системы (2.13) даёт

, (2.14)

где коэффициент передачи, 1/Bc,

, (2.15)

электромагнитная постоянная времени цепи возбуждения, с,

, (2.16)

где L_B = a _B – динамический коэффициент самоиндукции цепи возбуждения; электромагнитная постоянная времени двигателя, с,

. (2.17)

Из выражений (2.15) … (2.17) видно, что рассматриваемая система является, по существу, нелинейной, так как коэффициент передачи и «постоянные» времени на самом деле – не постоянны. Их можно считать постоянными только приближенно для какого-то определенного режима при условии малости отклонений всех переменных от установившихся значений.

Интересным является частный случай, когда в установившемся режиме U_B0 = 0; І_B0 = 0; Ф₀ = 0 и ₀ = 0. Тогда формула (2.14) приобретает вид:

. (2.18)

В этом случае статическая характеристика будет связывать приращение ускорения двигателя p  и приращение напряжения в цепи возбуждения U_В.