2. Линейные и нелинейные системы автоматического регулирования
2.1. Общие положения
Динамические процессы в системах автоматического регулирования описываются дифференциальными уравнениями.
В линейных системах процессы описываются при помощи линейных дифференциальных уравнений.
Чтобы система регулирования была линейной, необходимо (но недостаточно) иметь статические характеристики всех звеньев в виде прямых линий.
Статическая характеристика звена это зависимость между входным и выходным сигналом в установившемся режиме (без учета переходных процессов).
В действительности реальные статические характеристики в большинстве случаев не являются прямолинейными. Поэтому чтобы рассчитать реальную систему как линейную, необходимо все криволинейные статические характеристики звеньев на рабочих участках, которые используются в данном процессе регулирования, заменить прямолинейными отрезками. Этот процесс называется линеаризацией. Большинство систем непрерывного регулирования поддаётся такой линеаризации.
Линейные системы разделяются на обыкновенные линейные системы и особые линейные системы.
Обыкновенные линейные САР это системы, все звенья которых описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
К особым линейным САР относят:
а) системы с переменными по времени параметрами, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами;
б) системы с распределёнными параметрами, где приходится иметь дело с уравнениями в частных производных, и системы с временным запаздыванием, описываемые уравнениями с запаздывающим аргументом;
в) импульсные системы, где приходится иметь дело с разностными уравнениями.
Расчеты линейных систем хорошо разработаны и более просты для практического применения. Расчеты же нелинейных систем часто связаны с большими трудностями.
В нелинейных системах процессы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями.
В нелинейных системах при анализе процесса регулирования приходится учитывать нелинейность статической характеристики хотя бы в одном её звене.
Иногда нелинейные звенья специально вводятся в систему для обеспечения наибольшего быстродействия или других желаемых качеств.
К нелинейным системам относятся релейные системы, так как релейная характеристика (рис. 2.1, а и б) не может быть заменена одной прямой линией. Нелинейным будет звено, в характеристике которого имеется зона нечувствительности (рис. 2.1, в).
Явления насыщения или механического ограничения хода приводят к характеристике с ограничением линейной зависимости на концах (рис. 2.1, г). Эта характеристика также должна считаться нелинейной, если рассматриваются такие процессы, когда рабочая точка выходит за пределы линейного участка характеристики.
К нелинейным зависимостям относятся также гистерезисная кривая (рис. 2.1, д), характеристика зазора в механической передаче (рис. 2.1, е), сухое трение (рис. 2.1, ж), квадратичное трение (рис. 2.1, и) и др. В последних двух характеристиках x1 обозначает скорость перемещения, а x2 – силу или момент трения.
Нелинейной является вообще любая криволинейная зависимость между выходным и входным сигналами звена (рис. 2.1, к). Это нелинейности простейшего типа. Кроме того, нелинейности могут входить в дифференциальные уравнения в виде произведения переменных величин и их производных, а также в виде более сложных функциональных зависимостей.
Не все нелинейные зависимости поддаются простой линеаризации. Так, например, линеаризация не может быть сделана для характеристик, изображенных на рис. 2.1, а или на рис. 2.1, е. Подобные сложные случаи будут рассмотрены далее.
Рис. 2.1. Характеристики нелинейных звеньев