6

Рис. 9.7. Устойчивый

Предельный цикл

Рис. 9.8. Неустойчивый

Предельный цикл

. Устойчивые автоколебания. Могут существовать такие условия, когда на фазовой плоскости присутствует замкнутая фазовая траектория (рис. 9.7), к которой в пределе стремятся все фазовые траектории плоскости. Тогда замкнутая кривая называется устойчивым предельным циклом. В этом случае все фазовые траектории, находящиеся внутри предельного цикла, соответствуют расходящемуся процессу. Эти фазовые траектории в пределе сливаются с замкнутой кривой (предельным циклом).

С другой стороны, все фазовые траектории, находящиеся снаружи предельного цикла, соответствуют сходящемуся процессу. При этом фазовые траектории навиваются на замкнутую кривую, в пределе сливаясь с ней.

Такая картина соответствует устойчивым автоколебаниям в системе, так как любая фазовая траектория в конце концов сольется с предельным циклом, что соответствует периодическому режиму в системе.

По кривой предельного цикла можно установить амплитуду автоколебаний, т. е. максимальное значение исследуемой величины.

7. Неустойчивые автоколебания. Могут существовать такие условия, когда на фазовой плоскости присутствует замкнутая фазовая траектория (рис. 9.8), от которой внутрь и наружу расходятся фазовые траектории. Эта замкнутая фазовая траектория называется неустойчивым предельным циклом.

Внутри такого предельного цикла фазовые траектории соответствуют сходящемуся процессу. Поэтому, если начальная точка исследуемого переходного процесса М₀(х₀,  ) находится внутри замкнутой фазовой траектории, то система является устойчивой. Такая устойчивость называется устойчивостью в малом.

Снаружи неустойчивого предельного цикла фазовые траектории соответствуют расходящемуся процессу. Поэтому, если начальная точка процесса М₀(х₀,  ) находится вне замкнутой фазовой траектории, то система является неустойчивой в большом.

Из изложенного следует, что понятия устойчивости в нелинейных и линейных системах сильно отличаются друг от друга. Устойчивость линейной системы зависит от структуры и соотношения параметров и не зависит от начальных условий. Устойчивость нелинейной системы может зависеть также и от начальных условий.

Периодический режим, соответствующий неустойчивому предельному циклу, не может долго существовать, и фазовая траектория в зависимости от случайных воздействий пойдет внутрь или наружу предельного цикла.

Так как процесс в реальной системе не может расходиться бесконечно далеко, и где-то должно произойти ограничение, то при наличии неустойчивого предельного цикла на фазовой плоскости должен обязательно существовать больший по размерам устойчивый предельный цикл, к которому и будут стремиться фазовые траектории, находящиеся снаружи неустойчивого предельного цикла.

А.А. Андроновым был разработан метод точечных преобразований [1], который является соединением методов припасовывания и фазовых траекторий. Он уменьшает объем построений и вводит в рассмотрение также и время протекания процесса, которое в явном виде отсутствует на фазовой плоскости.

Для тех случаев, когда затруднительно найти в явном виде уравнения фазовых траекторий, используется приближенный метод их построения, который носит название метода изоклин [1].

Контрольные вопросы

1. Дайте определение нелинейных САР.

2. Перечислите методы исследования процессов в нелинейных САР.

3. Изложите сущность метода фазовой плоскости.

4. Перечислите свойства фазовых траекторий.

5. Чем отличается устойчивость нелинейных систем от устойчивости линейных систем?