8.2. Метод логарифмических амплитудных характеристик

Логарифмические амплитудные характеристики особенно удобны для целей синтеза, так как построение ЛАХ, как правило, может выполняться без вычислительной работы. Особенно удобно использовать асимптотические ЛАХ.

Процесс синтеза обычно включает в себя следующие операции.

1. Построение желаемой ЛАХ производится на основе тех требований, которые предъявляются к проектируемой системе регулирования. При построении желаемой ЛАХ необходимо быть уверенным, что вид амплитудной характеристики полностью определяет характер переходных процессов. Это будет выполняться в случае так называемых минимально-фазовых систем. В этом случае амплитудная характеристика однозначно определяет вид фазовой характеристики. Передаточная функция разомкнутой минимально-фазовой системы не должна иметь нулей и полюсов, расположенных в правой полуплоскости.

2. Построение располагаемой ЛАХ. Располагаемой ЛАХ является характеристика исходной системы регулирования, построенной на основании обеспечения требуемых режимов стабилизации или слежения, выходной мощности, требуемой скорости, ускорения и т. п. Обычно под исходной системой понимается система, состоящая из регулируемого объекта и регулятора и не снабженная необходимыми корректирующими средствами, обеспечивающими требуемое качество переходного процесса. Исходная система должна быть также минимально-фазовой.

3. Определение вида и параметров корректирующего устройства. Наиболее просто определяется корректирующее устройство последовательного типа. Если обозначить желаемую передаточную функцию разомкнутой системы как W_Ж(p), располагаемую – W_Р(p) и передаточную функцию корректирующего звена последовательного типа – W_КЗ(р), то можно записать равенство

W_Ж(p) = W_КЗ(p) W_Р(p). (8.1)

Откуда имеем

W_КЗ(p) = W_Ж(p) / W_Р(p). (8.2)

Для ЛАХ по (8.2) можно записать

L_КЗ() = L_Ж() – L_Р(). (8.3)

Таким образом, при использовании ЛАХ весьма легко осуществляется синтез корректирующих средств, так как ЛАХ корректирующих средств получается простым вычитанием ординат располагаемой ЛАХ из ординат желаемой.

4. Техническая реализация корректирующих средств. По виду ЛАХ в справочной литературе необходимо подобрать схему и параметры корректирующего звена последовательного типа. В случае необходимости последовательное звено может быть пересчитано на эквивалентное параллельное звено или эквивалентную обратную связь.

5. Поверочный расчет и построение переходного процесса. В случае необходимости полученная система регулирования вместе с корректирующими средствами может быть исследована обычными методами анализа.

8.3. Синтез последовательного корректирующего устройства

Рассмотрим краткое изложение метода синтеза, разработанного В.В. Солодовниковым [6].

В основу синтеза последовательного корректирующего устройства положено выполнение заданной величины следующих показателей качества:

1) перерегулирование  при единичном ступенчатом воздействии на входе;

2) время переходного процесса t_П;

3) максимальное ускорение , с которым изменяется регулируемая величина при заданном ступенчатом управляющем воздействии Y₀;

4) запас устойчивости по фазе .

Обычно эти четыре значения задают в начале синтеза последовательного корректирующего устройства.

Построение желаемой ЛАХ.

Желаемой L_Ж называют асимптотическую ЛАХ разомкнутой системы, имеющей требуемые статические и динамические свойства. Желаемая ЛАХ (рис. 8.1) состоит из трех основных асимптот (частей):

• низкочастотной,

• среднечастотной,

• высокочастотной.

Кроме того, могут быть сопрягающие асимптоты, которые соединяют основные.

Желаемая ЛАХ строится на основании требований к системе. Низкочастотная часть ЛАХ разомкнутой системы определяет статические свойства. Среднечастотная часть ЛАХ разомкнутой системы и ее сопряжение с низкочастотной определяют динамические свойства системы – устойчивость и показатели качества процесса регулирования.

Рис. 8.1. Построение желаемой ЛАХ

Построение среднечастотной части желаемой ЛАХ. Построение начинают с выбора частоты среза _с (рис. 8.1), для этого используется первая номограмма, полученная В.В. Солодовниковым (рис. 8.2, а). Она определяет зависимость перерегулирования  и времени переходного процесса t_П от максимума (горба) Р_maх вещественной частотной характеристики замкнутой системы, причем время переходного процесса t_П дано в виде функции частоты среза _с.

Номограмма используется следующим образом. По заданному значению перерегулирования  (см. разд. 7) определяют значение Р_max, затем по Р_max определяют соотношение между t_П и _с, т. е.

t_П = с  / _с, (8.4)

где с – числовое значение по оси ординат первой номограммы.

Рис. 8.2. Номограммы В.В. Солодовникова

На рис. 8.2 показано, как по значению  = 30 % определено сначала Р_max = 1,27, а затем t_П = 3,4  / _с.

Из (8.4) вычисляем частоту среза _с1, при которой время регулирования не превысит заданного значения (это обеспечивает первая номограмма).

Если при начальном воздействии Y₀ ускорение регулируемой величины ограничивается значением , то частота среза не должна быть больше _с2, т. е.

. (8.5)

Частота среза _с2 соответствует оптимальному переходному процессу при допустимом ускорении .

Таким образом, частота среза должна быть выбрана по одному из следующих условий:

_с  _с1 или _с1 ≤ _с ≤ _с2. (8.6)

Чем больше _с, тем меньше время регулирования. Однако если, _с2 < _с1, то _с не должна быть больше значения _с2. В этом случае требование в отношении времени переходного процесса, возможно, не будет выполнено.

Среднечастотная часть желаемой ЛАХ в виде прямой с отрицательным наклоном 20 дБ/дек проводится через точку _с. При большем наклоне трудно обеспечить необходимый запас устойчивости и допустимое перерегулирование.

Протяженность среднечастотной части устанавливается исходя из необходимого запаса устойчивости. Из этих же соображений выбирают способ ее сопряжения с низкочастотной частью располагаемой ЛАХ. Кроме того, сопрягающую асимптоту следует выбирать так, чтобы характеристика L_Ж как можно меньше отличалась от L_Р, и ЛАХ корректирующего устройства была более простой.

По найденному из первой номограммы значению P_max c помощью второй номограммы (рис. 8.2, б) определяют избыток фазы  и предельные значения амплитуд L_М. По второй номограмме по ранее определенному значению Р_max = 1,27 определены L_М = 14 дБ и  = 40.

Избыток фазы  должен быть обеспечен на том участке характеристики L_Ж, для которого справедливо неравенство

L_М ≥ L_Ж ≥ –L_М. (8.7)

Этот участок охватывает среднечастотную асимптоту и, возможно, часть сопрягающей асимптоты.

Построение низкочастотной части. Сопряжение желаемой и располагаемой ЛАХ в низкочастотной области производится следующим образом.

1. Сначала откладывается ордината L_М (пунктир на рис. 8.1), затем наносится сопрягающая прямая.

2. Если наклон низкочастотной части располагаемой ЛАХ составляет 0 дБ/дек или –20 дБ/дек, то наклон сопрягающей прямой выбирают равным –40 дБ/дек или –60 дБ/дек. Начинать ее можно из точки среднечастотной части ЛАХ с ординатой L_М.

3. После проведения прямой нужно проверить избыток фазы _а при частоте _а, где ордината L_Ж равна L_М (см. рис. 8.1). Значение _а подсчитывается по приближенной формуле

, (8.8)

где  – порядок астатизма проектируемой системы; _i – сопрягающие частоты, меньшие _а, при которых наклон L_Ж увеличивается на 20 дБ/дек; k – число сопрягающих частот _i; _j – сопрягающие частоты, меньшие _а, при которых наклон L_ж() уменьшается на 20 дБ/дек; – число сопрягающих частот _j.

Если избыток фазы _а оказывается меньше необходимого, то сопрягающую асимптоту следует переместить влево. В противном случае (при слишком большом избытке фазы) сопрягающая асимптота перемещается вправо. Чем больший диапазон частот занимает низкочастотная часть ЛАХ, тем лучше система воспроизводит низкочастотные изменения управляющего воздействия.

Построение высокочастотной части желаемой ЛАХ. Высокочастотная часть мало влияет на свойства системы. Поэтому ее следует выбирать так, чтобы корректирующее устройство было возможно более простым. Это достигается при совмещении высокочастотных частей характеристик L_Ж и L_Р. Если совмещение не удается, то высокочастотная часть желаемой ЛАХ должна иметь тот же наклон, что и высокочастотная часть располагаемой ЛАХ.

После выбора высокочастотной части желаемой ЛАХ и сопряжения ее со среднечастотной частью следует проверить избыток фазы _б при частоте _б, где ордината характеристики L_Ж равна минус L_М. Это можно сделать по следующей формуле

, (8.9)

где q_cp – относительный наклон среднечастотной асимптоты (при наклоне –20 дБ/дек q_cp = 1); _r – сопрягающие частоты, большие частоты среза _с; m – число частот _r.

Если _б меньше требуемого значения, то высокочастотную сопрягающую асимптоту желаемой ЛАХ нужно переместить вправо.

Существуют методы, позволяющие более точно проверить избыток фазы на частотах _а и _б. [3]. Чтобы окончательно убедиться в приемлемости желаемой ЛАХ, можно по полученной желаемой передаточной функции построить любым методом кривую переходного процесса и проверить величины  и t_П.

При построении желаемой ЛАХ нужно следить, чтобы ее форма как можно меньше отличалась от формы располагаемой ЛАХ. Такое требование связано с тем, что форма ЛАХ разницы – ЛАХ последовательного корректирующего устройства должна быть как можно проще. Это замечание относится к низкочастотной и высокочастотной частям ЛАХ. Желательно делать так, чтобы, по крайней мере, первая низкочастотная и последняя высокочастотная асимптоты обеих ЛАХ сливались вместе. Совпадение низкочастотных асимптот ЛАХ достигается за счет выбора требуемого коэффициента передачи в системе. Совпадение высокочастотных асимптот достигается соответствующим выбором формы желаемой ЛАХ в высокочастотной области. Заметим, что при формировании желаемой ЛАХ можно увеличивать, если это необходимо для совпадения асимптот, запасы по модулю L_М и –L_М, так как такое увеличение только повысит качество системы.

В заключение из ординат желаемой ЛАХ вычитаются ординаты располагаемой ЛАХ. Результирующая ЛАХ разницы соответствует передаточной функции последовательного корректирующего звена. По виду этой ЛАХ в справочной литературе подбирается схема и параметры корректирующего звена последовательного типа. При необходимости это звено может быть пересчитано на эквивалентную обратную связь или эквивалентное параллельное корректирующее звено.