6.2. Классический метод

Пусть система автоматического регулирования описывается линейным дифференциальным уравнением с правой частью

, (6.1)

где р – оператор дифференцирования.

Решение этого уравнения можно представить в виде суммы частного и общего решений

. (6.2)

Первое слагаемое (6.2) называют вынужденным решением. В случае Х_частн(t) = const это будет установившееся значение, а второе слагаемое – переходная составляющая

. (6.3)

Общее решение (переходная составляющая) находится из дифференциального уравнения (6.1) с правой частью, равной нулю

. (6.4)

Как уже указывалось выше, это решение определяется выражением (5.8). Полное решение в результате будет иметь вид

, (6.5)

где ₁ … _n – корни характеристического уравнения

, (6.6)

соответствующего дифференциальному уравнению (6.1).

Таким образом, для отыскания полного решения дифференциального уравнения (6.1) необходимо найти частное или вынужденное решение уравнения с правой частью Х_В(t) и определить корни характеристического уравнения. Дальнейшим шагом является отыскание произвольных постоянных интегрирования С₁ – С_n. Для этой цели используются начальные условия: t = 0; . Начальные условия накладываются на основании физических соображений или находятся из дифференциального уравнения (6.1). Дифференцируя уравнение (6.5) по времени (n – 1) раз и подставляя начальные условия, получают n алгебраических уравнений (исходное уравнение (6.5) и (n – 1) результатов дифференцирования), куда входит n неизвестных – постоянных интегрирования. Совместное решение этих уравнений даёт возможность определить искомые постоянные интегрирования С₁ … С_n.

Операции вычисления корней и совместного решения n алгебраических уравнений являются трудоёмкими. Это особенно относится ко второй операции, так как вычисление корней может быть сделано довольно быстро приближенными методами. В связи с этим использование классического метода построения кривой переходного процесса ограничивается случаем сравнительно невысокого порядка дифференциального уравнения.

6.3. Метод трапецеидальных вещественных характеристик

Этот метод был разработан российским ученым В.В. Солодовниковым [6]. Он позволяет получить зависимость Х(t) по известной вещественной характеристике Р().

Вещественной частотной характеристикой называют зависимость вещественной части частотной передаточной функции замкнутой САР от частоты. Диапазон изменения частоты для этой характеристики составляет промежуток от нуля до бесконечности

Рис. 6.2. Единичная трапецеидальная вещественная характеристика

. (6.7)

Однако интегрирование выражения (6.7) является сложной задачей. Поэтому на практике используется его приближенное решение. Для этой цели вводится понятие типовой единичной трапецеидальной вещественной характеристики (рис. 6.2).

Единичная трапецеидальная вещественная характеристика имеет высоту, равную единице, и частоту среза _с, также равную единице. Единичная прямоугольная трапеция характеризуется частотой излома _d, которая может быть задана в виде коэффициента наклона боковой грани трапеции

. (6.8)

Для единичных трапеций с различным коэффициентом наклона по выражению (6.7) может быть вычислен оригинал, т. е. функция времени. Этот оригинал получил название h-функции. В настоящее время составлены подробные таблицы h-функции для различных коэффициентов наклона, лежащих в пределах . В справочной литературе они обычно имеют вид, аналогичный табл. 6.1. По такой таблице для каждого коэффициента наклона единичной трапеции можно построить функцию времени h(t₀). H-функции это кривые переходного процесса, соответствующие единичным трапецеидальным вещественным характеристикам с разным коэффициентом наклона боковой грани.

Таблица 6.1