5.2. Алгебраический критерий устойчивости

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 г. Эта же задача была впервые решена Раусом в 1877 г. для уравнений четвертой и пятой степени.

Поскольку критерий Рауса был разработан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его на практике было неудобным. Поэтому большее распространение получил критерий устойчивости, сформулированный в 1895 г. А. Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося регулированием процессов в турбинах.

Рассмотрим без доказательства критерий устойчивости Гурвица.

Для характеристического уравнения (5.8) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую n строк и n столбцов.

(5.13)

При построении матрицы руководствуются следующими правилами.

1. По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а₁ до а_n.

2. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами.

3. В случае отсутствия данного коэффициента, если индекс меньше нуля или больше n, на месте его пишется нуль.

После построения матрицы Гурвица из нее выделяют n определителей Гурвица (диагональных миноров). Определители Гурвица составляются по следующему правилу [см. (5.13)]

; (5.14)

; (5.15)

. (5.16)

Последний определитель _n включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель выражается через предпоследний следующим образом:

_n = а_n _n-1. (5.17)

Но в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть больше нуля, поэтому условие положительности последнего определителя сводится к а_n > 0.

Критерий устойчивости Гурвица в общем виде сводится к тому, что при положительности коэффициента при старшей степени a₀ [выражение (5.8)] должны быть больше нуля все n квадратичных определителей Гурвица, если хотя бы один из определителей меньше нуля, то система будет не устойчивой.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель_n = 0, при положительности всех остальных определителей. Как следует из (5.17), это условие распадается на два: а_n = 0 и _n-1 = 0. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе – границе второго типа (колебательная граница устойчивости).

Развертывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

Частные случаи критерия Гурвица.

1. Уравнение первого порядка

. (5.18)

Для этого уравнения имеем:

, (5.19)

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

2. Уравнение второго порядка

. (5.20)

Для этого уравнения имеем:

. (5.21)

Последний определитель, как отмечалось ранее, сводится к условию положительности последнего коэффициента а₂ > 0.

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.