Контрольные вопросы

1. Изложите основные этапы классического метода составления дифференциальных уравнений САР.

2. Назовите два вида дифференциальных уравнений САР.

3. Дайте определение характеристического уравнения.

4. Дайте определение передаточных функций САР.

5. Опишите методику составления дифференциальных уравнений САР на основе передаточных функций типовых динамических звеньев.

5. Устойчивость линейных систем автоматического регулирования

5.1. Понятие устойчивости линейных систем

В понятие устойчивости системы автоматического регулирования входит факт наличия или отсутствия у САР способности приводить любой переходный процесс к затуханию.

Устойчивость САР это свойство системы возвращаться в заданный или близкий к нему установившийся режим после воздействия на нее какого-либо управления или возмущения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение движения линеаризованной системы автоматического регулирования (4.7), записанное для регулируемой величины Х(t) при наличии управляющего воздействия Y(t) и равенстве нулю возмущающих воздействий F_K(t):

, (5.1)

где а₀ … а_n и b₀ … b_m – коэффициенты полиномов D(p) и B(p) соответственно, в линеаризованной системе представляют собой постоянные величины. Степень полинома в правой части уравнения не может быть выше степени полинома в левой части m ≤ n.

Дифференциальное уравнение движения системы регулирования можно записать для возмущающего воздействия F_K(t). В этом случае левая часть (5.1) остаётся без изменения, а правая часть будет иметь другой вид. В общем виде дифференциальное уравнение, определяющее изменение регулируемой величины, может быть записано так, что в правой его части будет находиться некоторая функция времени f(t). Характер переходных процессов в системе определяется видом левой части дифференциального уравнения (5.1). Поэтому для определения качественной картины переходных процессов (стремления их к затуханию) практически безразлично записать ли исходное дифференциальное уравнение для управляющего или возмущающего воздействий.

Процесс регулирования определяется решением дифференциального уравнения как суммы двух решений – частного решения неоднородного уравнения (5.1) с правой частью и общего решения уравнения (5.1) без правой части, т. е. с правой частью, равной нулю:

. (5.2)

Первое слагаемое (5.2) называют вынужденным решением (когда Х_частн(t) = const, это будет установившееся значение), а второе слагаемое – переходной составляющей

. (5.3)

Система будет называться устойчивой, если при стремлении времени к бесконечности переходная составляющая будет стремиться к нулю (при t  , Х_П(t)  0).

Найдем из (5.1) общее решение (переходную составляющую). Для этой цели необходимо решить дифференциальное уравнение (5.1) без правой части

. (5.4)

Общее решение выполняется в виде

. (5.5)

Дифференцируя выражение (5.5) n раз, подставляем его в (5.4)

. (5.6)

Получим дифференциальное уравнение

. (5.7)

После сокращения на общий множитель Ce_^t имеем

. (5.8)

Это уравнение называется характеристическим, его корни ₁ … _n будут определять характер переходного процесса в системе.

Нетрудно увидеть, что левая часть (5.6) полностью совпадает с левой частью (5.1). Поэтому характеристическое уравнение получается приравниванием полинома D(p) в левой части (5.1) к нулю и заменой оператора Лапласа «p» на некоторую переменную.

Так как в решении характеристического уравнения содержится n корней, то переходная составляющая (или общее решение) представляется в виде:

, (5.9)

где ₁ … _n – корни характеристического уравнения; С₁ … С_n – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий (управляющего воздействия и его производных).

Если корни характеристического уравнения определяются только видом левой части уравнения (5.1), то постоянные интегрирования определяются также и видом правой его части. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частью исходного дифференциального уравнения.

Поскольку в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного процесса), то устойчивость линейной системы совершенно не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (5.1) и определяется только характеристическим уравнением.

Чтобы определить, устойчива система или неустойчива, нет необходимости полностью знать корни характеристического уравнения. Выясним, какие свойства корней необходимы и достаточны для того, чтобы система была устойчивой.

В общем виде корни любого уравнения могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми. Рассмотрим эти случаи для характеристического уравнения.

1

Рис. 5.1. Вещественные корни

. Вещественный корень. Пусть один из корней, например ₁, является вещественным. Если он отрицательный ₁ = -₁, то слагаемое, определяемое этим корнем в (5.9), будет представлять собой экспоненту Ce_^t. Очевидно, что при t   это слагаемое будет «затухать» (рис. 5.1).

При ₁ = +₁ получим не затухающий, а расходящийся процесс (рис. 5.1).

2. Комплексные корни. Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При отрицательной вещественной части два корня, например ₁ и ₂, будут иметь вид _1,2 = –  j. В этом случае слагаемые, определяемые этими корнями в уравнении (5.9), могут быть представлены в виде:

, (5.10)

где A и  – новые постоянные интегрирования.

Нетрудно увидеть, что мнимая часть корня  представляет собой круговую частоту затухающих колебаний, а  – показатель затухания огибающей к кривой переходного процесса (рис. 5.2, а). При положительной вещественной части два корня будут иметь вид _1,2 = +  j и колебательный процесс будет не затухающим, а расходящимся (рис. 5.2, б).

Рис. 5.2. Комплексные и мнимые корни

3. Мнимые корни. В этом случае _1,2 =  j. Слагаемые, определяемые этими корнями в (5.9), будут представлять собой незатухающие колебания, т. е. колебания с постоянной амплитудой

. (5.11)

Такой процесс изображён на рис. 5.2, в.

И

Рис. 5.3. Границы

устойчивости

з анализа переходных процессов от корней различного вида можно сделать вывод, что для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным, так и к комплексным корням. Если хотя бы один корень характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в САР в целом будет расходиться, т. е. система окажется неустойчивой.

Корни характеристического уравнения можно представить в виде точек на комплексной плоскости (рис. 5.3).

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой.

Таким образом, мнимая ось представляет собой границу устойчивости в плоскости корней, за которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость представляет собой при этом область устойчивости.

Превращение устойчивой системы в неустойчивую произойдет в том случае, если хотя бы один вещественный или пара комплексных корней перейдет из левой полуплоскости в правую. На границе перехода будем иметь так называемую границу устойчивости системы.

Различают три типа границы устойчивости: