4.2. Передаточные функции сар

Получение дифференциальных уравнений, описывающих поведение всей САР в форме (4.4) и (4.7), с использованием общего метода достаточно трудоемкий процесс. Однако его можно значительно облегчить, введя понятие передаточных функций САР. Понятие передаточной функции было введено ранее (см. подразд. 3.1).

Рассмотрим систему автоматического регулирования по замкнутому циклу (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Пример системы автоматического регулирования

Предположим вначале, что элемент сравнения (ЭC) отсоединен от объекта регулирования (ОР), и рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматического регулирования.

Регулирующее воздействие, которое прикладывает исполнительный элемент (ИЭ) к регулируемому объекту, определяется выражением

, (4.10)

где х – рассогласование на выходе элемента сравнения (ошибка регулирования); w_рег(p) – передаточная функция цепи регулирования.

Регулируемая величина может быть найдена из выражения

, (4.11)

где w_F(p) – передаточная функция объекта регулирования (ОР) по регулирующему воздействию; w_K(p) – передаточная функция объекта регулирования (ОР) по возмущающему воздействию F_K.

Подставляя (4.10) в (4.11), имеем:

. (4.12)

Здесь введена так называемая передаточная функция разомкнутой системы

, (4.13)

которая при внешних возмущениях, равных нулю, дает связь между регулируемой величиной и ошибкой:

X = W(p) x. (4.14)

Передаточная функция разомкнутой системы равна отношению регулируемой величины к ошибке регулирования при равенстве нулю возмущающих воздействий.

Рассмотрим теперь замкнутую систему. Предположим, что элемент сравнения (ЭС) соединен с объектом регулирования (ОР). В этом случае можно использовать уравнение замыкания

x = Y – X. (4.15)

Решая (4.12) и (4.15) совместно, относительно регулируемой величины имеем:

. (4.16)

Решая (4.12) и (4.15) совместно, относительно ошибки регулирования имеем:

. (4.17)

Введем понятие передаточной функции замкнутой системы или главного оператора

, (4.18)

которая при внешних возмущениях, равных нулю, дает связь между регулируемой величиной и управляющим воздействием [см. уравнение (4.16)]:

X = Ф(p) Y. (4.19)

Передаточная функция замкнутой системы равна отношению регулируемой величины к управляющему воздействию при равенстве нулю возмущающих воздействий.

В результате сравнения формул (4.7) и (4.4) с формулами (4.16) и (4.17) можно получить следующие выражения:

 для передаточной функции замкнутой системы справедливо:

, (4.20)

где В(p) и D(p) – полиномы в уравнении (4.7);

 для характеристического уравнения системы справедливо:

, (4.21)

или через понятие передаточной функции разомкнутой системы

; (4.22)

 для полиномов М_К(p), входящих в формулы (4.4) и (4.7), можно положить следующее соотношение:

. (4.23)

Из рассмотренного видно, что знание передаточной функции разомкнутой системы позволяет легко найти характеристическое уравнение выражения для ошибки регулирования и регулируемой величины в функции управляющего и возмущающих воздействий.