Контрольные вопросы

1. Дайте понятие типового динамического звена и передаточных функций.

2. Назовите временные характеристики динамических звеньев.

3. Назовите частотные характеристики динамических звеньев.

4. Назовите логарифмические частотные характеристики звеньев.

5. Опишите безынерционное звено и его характеристики.

6. Опишите апериодическое звено первого порядка и его характеристики.

7. Опишите апериодическое звено второго порядка и его характеристики.

8. Опишите идеальное интегрирующее звено и его характеристики.

9. Опишите инерционное интегрирующее звено и его характеристики.

10. Опишите идеальное дифференцирующее звено и его характеристики.

11. Опишите реальное дифференцирующее звено и его характеристики.

12. Опишите неустойчивые звенья и их характеристики.

4. Составление и анализ исходных дифференциальных уравнений Систем Автоматического регулирования

4.1. Общий метод составления уравнений

Системы автоматического регулирования в большинстве случаев являются сложными устройствами, динамика которых описывается совокупностью дифференциальных уравнений. Для получения этой совокупности необходимо составить дифференциальное уравнение для каждого элемента автоматической системы так, чтобы общее число уравнений было не меньше, чем число независимых обобщенных координат, определяющих состояние системы.

При составлении дифференциального уравнения каждого элемента необходимо прежде всего выявить физический закон, определяющий его поведение. Таким законом может быть, например, закон сохранения вещества (объекты регулирования уровня, давления); закон сохранения энергии (объекты регулирования температуры); закон равновесия моментов (объекты регулирования скорости или угла поворота); закон равновесия электродвижущих сил (электрические цепи) и другие основные законы физики.

Математическое выражение соответствующего физического закона и является исходным дифференциальным уравнением данного элемента автоматической системы.

Для электродвигателя закон равновесия моментов на его валу может быть записан в следующем виде:

, (4.1)

где J и  – приведенный момент инерции и угловая скорость вращения двигателя; М_В – вращающий момент двигателя; М_Т – тормозной момент внешних сил (момент нагрузки).

После записи дифференциального уравнения необходимо определить факторы, от которых зависят переменные, входящие в это уравнение. Необходимо установить, от каких величин, какими выражениями определяются вращающий момент двигателя М_В и тормозной момент М_Т на его валу. Нужно также выяснить, является ли приведенный момент инерции постоянной величиной или он изменяется в функции какой-то переменной (например, в функции угла поворота двигателя).

Так, например, если исследуется двигатель постоянного тока с параллельным возбуждением, то вращающий момент будет пропорциональным произведению постоянного потока Ф = соnst и тока якоря І_Я

. (4.2)

Момент нагрузки может быть постоянным или зависеть от какой-то величины, например, от скорости вращения двигателя, его угла поворота, времени и т. д. Так, если момент пропорционален квадрату скорости (вентиляционная нагрузка) М_Т = k ², то при постоянстве приведенного момента инерции J = const уравнение (4.1) будет иметь следующий вид:

. (4.3)

Дальнейшим шагом является линеаризация полученных уравнений в соответствии с рассмотренным ранее методом, если линеаризация вообще является допустимой. Обычно достаточные признаки возможности производить линеаризацию заключаются в отсутствии разрывных, неоднозначных или резко изгибающихся характеристик и в справедливости уравнений в течение всего интервала времени регулирования. После нахождения линеаризованных дифференциальных уравнений целесообразно для упрощения представить их в операторной форме записи.

Когда будет получена полная совокупность дифференциальных уравнений системы, ее надо решить совместно относительно интересующей величины. Обычно система уравнений решается относительно отклонения регулируемой величины от заданного значения (ошибки – x(t)) или относительно самой регулируемой величины Х(t).

Первый случай решения системы уравнений встречается чаще, так как исследование изменения ошибки, как правило, является более важным. В этом случае получается дифференциальное уравнение, которое иногда называется дифференциальным уравнением движения регулятора,

. (4.4)

Полином D(p) степени n оператора Лапласа р характеризует свободное движение регулируемого объекта с регулятором. Он называется характеристическим полиномом и может быть представлен в виде

, (4.5)

где а₀ … а_n – в линеаризованной системе представляют собой постоянные коэффициенты.

Для анализа устойчивости и некоторых других свойств САР далее используется понятие – характеристическое уравнение системы. Характеристическим уравнением системы называют характеристический полином D(p), приравненный к нулю.

Полином С(р) обычно имеет ту же степень что и полином D(p). С(р) определяет влияние управляющего воздействия Y(t) на характер изменения ошибки х(t) и может быть представлен в виде

, (4.6)

где c₀ … с_n – в линеаризованной системе представляют собой постоянные коэффициенты.

Выражение C(p)Y(t) не равно нулю только в случае программного регулирования и в следящих системах. В системах автоматической стабилизации C(p)Y(t) = const. Поэтому всегда можно выбрать начало отсчета так, чтобы Y(t) = 0, что упрощает выражение (4.4).

Полиномы М_K(р) определяют влияние возмущающих воздействий F_K(t) на характер изменения ошибки х(t). Если для какого-то возмущающего воздействия F_K(t)  0 полином М_K(р) = 0, то система автоматического регулирования является инвариантной относительно этого воздействия.

Из (4.4) вытекает, что ошибка системы автоматического регулирования может быть представлена в виде суммы двух составляющих. Первая составляющая определяется наличием управляющего воздействия Y(t), а вторая наличием возмущающих воздействий F_K(t).

Второй случай решения системы уравнений относительно регулируемой величины Х(t) дает так называемое уравнение движения регулируемого объекта при наличии автоматического регулирования.

Это уравнение может быть получено в результате подстановки выражения для ошибки х(t) = Y(t) – X(t) в уравнение (4.4). В результате имеем:

. (4.7)

Полином В(p) определяется выражением

, (4.8)

имеет степень m, причем m ≤ n, определяет влияние управляющего воздействия Y(t) на характер изменения регулируемой величины X(t) и может быть представлен в виде

. (4.9)

где b₀ … b_n – в линеаризованной системе представляют собой постоянные коэффициенты.

Из (4.7) вытекает, что регулируемая величина системы автоматического регулирования может быть представлена в виде суммы двух составляющих. Первая составляющая определяется наличием управляющего воздействия Y(t), а вторая – наличием возмущающих воздействий F_K(t).

При заданных функциях времени в правой части дифференциальных уравнений (4.4) и (4.7) эти выражения могут быть решены (проинтегрированы) относительно искомых функций времени, т. е. из (4.4) может быть найдено изменение ошибки регулирования во времени х(t), а из (4.7) – процесс движения регулируемого объекта вместе с регулятором Х(t).