3.11. Идеальное дифференцирующее звено

Звено описывается дифференциальным уравнением

, (3.73)

в операторной форме

. (3.74)

Передаточная функция этого звена

w(p) = k p. (3.75)

Примеры идеальных дифференцирующих звеньев изображены на рис. 3.25.

Рис. 3.25. Идеальные дифференцирующие звенья

Единственным идеальным дифференцирующим звеном, которое точно описывается уравнением (3.73), является тахогенератор постоянного тока (рис. 3.25, а), если в качестве входной величины рассматривать угол поворота его ротора , а в качестве выходной – напряжение якоря U. Приближенно в качестве идеального дифференцирующего звена может рассматриваться операционный усилитель в режиме дифференцирования (рис. 3.25, б).

П

Рис. 3.26. Переходная функция идеального дифференцирующего звена

ереходная функция звена A(t) = k 1'(t) = k (t) представляет собой импульсную функцию, площадь которой равна k (рис. 3.26). Функция веса w(t) = k '(t) представляет собой импульсную функцию второго порядка.

Частотная передаточная функция согласно (3.75), её модуль и фаза соответственно будут иметь вид:

w(j) = k j;  (3.76)

A() = k ;  = +90 ( > 0),  = -90 ( < 0).  (3.77)

Частотные характеристики изображены на рис. 3.27.

Из амплитудной характеристики видно, что звено пропускает сигнал тем сильнее, чем выше его частота. Это свойство является в автоматических системах часто нежелательным, так как звено может в значительной степени повышать уровень действующих в системе помех, которые, как правило, являются высокочастотными.

Рис. 3.27. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) идеального дифференцирующего звена

Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот сливается с положительным направлением оси мнимых.

ЛАХ этого звена определяется выражением

. (3.78)

Нетрудно видеть, что ЛАХ представляет собой прямую с положительным наклоном 20 дБ/дек. Эта прямая пересекает ось нуля децибел при частоте среза _ср = 1 / k.

ЛФХ представляет собой прямую линию  = +90, параллельную оси частот.

3.12. Реальное дифференцирующее звено

Звено описывается дифференциальным уравнением в операторной форме

. (3.79)

Передаточная функция этого звена

. (3.80)

Звено условно можно представить в виде двух включенных последовательно звеньев – идеального дифференцирующего звена и апериодического звена первого порядка.

На рис. 3.28 изображены примеры реальных дифференцирующих  звеньев: дифференцирующие RC-цепь (рис. 3.28, а), RL-цепь (рис. 3.28, б) и дифференцирующий трансформатор (рис. 3.28, в).

Рис. 3.28. Реальные дифференцирующие звенья

Переходная функция определяется решением уравнения (3.79) при нулевых начальных условиях

, (3.81)

и его функция веса

. (3.82)

Временные характеристики изображены на рис. 3.29. Там же показаны построения, позволяющие по экспериментальным характеристикам определять параметры звена.

Частотная передаточная функция согласно (3.80), её модуль и фаза соответственно будут иметь вид:

; (3.83)

(3.84)

Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики звена изображены на рис. 3.30.

Рис. 3.29. Переходная функция (а) и функция веса (б) реального дифференцирующего звена

Рис. 3.30. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) реального дифференцирующего звена

Амплитудная характеристика реального звена отличается от амплитудной характеристики идеального дифференцирующего звена (показана пунктиром). Характеристики совпадают в области низких частот. В области высоких частот реальное звено пропускает сигнал хуже, чем идеальное звено. Коэффициент передачи стремится к значению k / T при . Для звеньев, представляющих собой RC- или RL-цепь (рис. 3.28), коэффициент k / T = 1, и на высоких частотах коэффициент передачи стремится к единице.

Это означает, что в дифференцирующей RC-цепи конденсатор имеет сопротивление, стремящееся к нулю, а в RL-цепи индуктивность имеет сопротивление, стремящееся к бесконечности. И в том, и в другом случаях напряжение на выходе будет равно напряжению на входе.

Фазовые сдвиги, вносимые звеном, являются наибольшими при низких частотах. На высоких частотах фазовый сдвиг постепенно уменьшается, стремясь в пределе к нулю при  → 0. Здесь также видно, что реальное звено ведет себя подобно идеальному только в области низких частот.

Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот представляет собой полуокружность с диаметром, равным k / T. Дополнив эту полуокружность её зеркальным изображением относительно вещественной оси, получим полную амплитудно-фазовую характеристику для всех частот, лежащих в пределах - <  < +.

ЛАХ этого звена определяется выражением

. (3.85)

Для построения асимптотической ЛАХ (рис. 3.31) проведем вертикальную линию при сопрягающей частоте  = 1 / T.

Левее этой линии, т. е. при  < 1 / T, в подкоренном выражении (3.85) можно пренебречь слагаемым ²T², так как оно меньше единицы. Тогда вместо (3.85) можно принять приближенное выражение L()  20 lg (k ). Этому выражению соответствует прямая линия с положительным наклоном 20 дБ/дек, и частотой среза _ср = 1 / k (см. прямую a – b на рис. 3.31).

Правее сопрягающей частоты, т. е. при  > 1 / T, в подкоренном выражении (3.85) можно пренебречь единицей по сравнению с ²T². Тогда вместо (3.85) можно принять приближенное выражение L()  20 lg (k / T). Этому выражению соответствует прямая, параллельная оси частот (см. прямую b – c на рис. 3.31).

Действительная ЛАХ максимально отклоняется от асимптотической в точке излома b на величину 3 дБ.

На рис. 3.31 также показана асимптотическая ЛАХ для случая, когда k = 1 (ломаная d – e – f).

ЛФХ строится по второму уравнению в (3.84). Для этого сначала строится первое слагаемое ₁ = +90, а затем второе ₂ = –аrctg Т. Результирующая ЛФХ показана сплошной линией. При  = 1 / T фазовый сдвиг e этого звена составляет +45.

Рис. 3.31. ЛАХ и ЛФХ реального дифференцирующего звена