3.9. Идеальное интегрирующее звено

Звено описывается дифференциальным уравнением

, (3.53)

в операторной форме

p x₂ = k x₁, (3.54)

или в другой форме записи , откуда и получилось название звена. В идеальном интегрирующем звене выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной или скорость изменения выходной величины пропорциональна входной величине звена.

Передаточная функция этого звена

w(p) = k / p. (3.55)

Такое звено является идеализацией реальных интегрирующих звеньев, часть которых будет рассмотрена ниже. Идеальным будет считаться такое звено, у которого можно пренебречь влиянием собственных переходных процессов.

Примеры интегрирующих звеньев приведены на рис. 3.19. Наиболее часто в качестве интегрирующего звена используется операционный усилитель в режиме интегрирования (рис. 3.19, а). Интегрирующим звеном является также обычный гидравлический демпфер (рис. 3.19, б). Входной величиной является здесь сила F, действующая на поршень, а выходной – перемещение поршня x.

Рис. 3.19. Идеальные интегрирующие звенья

Так как скорость движения поршня демпфера пропорциональна приложенной силе

, (3.56)

где S – коэффициент скоростного сопротивления, то перемещение его штока будет пропорциональным интегралу от приложенной силы по времени

. (3.57)

Передаточная функция демпфера

w(p) = x / F = k / p. (3.58)

Переходная функция идеального интегрирующего звена при нулевых начальных условиях

, (3.59)

и его функция веса

. (3.60)

Временные характеристики изображены на рис. 3.20.

Частотная передаточная функция согласно (3.55), её модуль и фаза соответственно будут иметь вид:

w(j) = k / j; (3.61)

A() = k / ;  = –90 при  > 0,  = +90 при  < 0. (3.62)

Частотные характеристики изображены на рис. 3.21.

Рис. 3.20. Переходная функция (а) и функция веса (б) идеального интегрирующего звена

Рис. 3.21. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) идеального интегрирующего звена

Амплитудная характеристика показывает, что звено пропускает сигнал тем сильнее, чем меньше его частота. При  = 0 модуль A() → , а при  →  модуль A() → 0. Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот сливается с отрицательной частью оси мнимых.

ЛАХ этого звена определяется выражением

. (3.63)

Нетрудно видеть, что ЛАХ представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, пересекающую ось нуля децибел при частоте среза _ср = k.

ЛФХ представляет собой прямую  = –90, параллельную оси частот.

3.10. Инерционное интегрирующее звено

Звено описывается дифференциальным уравнением

, (3.64)

в операторной форме

. (3.65)

Передаточная функция этого звена

. (3.66)

Примером такого звена является двигатель постоянного тока, если в качестве входной величины рассматривать напряжение на якоре, а в качестве выходной – угол поворота вала двигателя.

Интегрирующее звено с замедлением можно представить как совокупность двух звеньев, включенных последовательно, – идеального интегрирующего и апериодического звена первого порядка.

Для нахождения переходной характеристики удобно передаточную функцию представить в виде суммы

, (3.67)

что позволяет представить решение дифференциального уравнения в виде суммы решения для идеального интегрирующего звена и решения для апериодического звена первого порядка, которые были рассмотрены ранее. В результате получаем переходную функцию звена при нулевых начальных условиях

(3.68)

и его функцию веса

. (3.69)

Временные характеристики изображены на рис. 3.22, на характеристиках – построения, с помощью которых можно по экспериментальной характеристике определить параметры звена.

Рис. 3.22. Переходная функция (а) и функция веса (б) инерционного интегрирующего звена

Частотная передаточная функция согласно (3.66), её модуль и фаза соответственно будут иметь вид:

; (3.70)

(3.71)

Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики изображены на рис. 3.23.

Рис. 3.23. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) инерционного интегрирующего звена

Из характеристик видно, что звено также пропускает сигналы тем сильнее, чем меньше их частота. В отличие от предыдущего звена фазовый сдвиг равен –90 только на очень низких частотах. С ростом частоты фазовый сдвиг () → -180 при  → .

ЛАХ этого звена определяется выражением

. (3.72)

Сначала построим вертикальную линию (рис. 3.24), соответствующую сопрягающей частоте = 1 / T.

Рис. 3.24. ЛАХ и ЛФХ инерционного интегрирующего звена

При частотах, меньших, чем сопрягающая, т. е. при  < 1 / T, в подкоренном выражении (3.72) можно пренебречь слагаемым ²T², так как оно меньше единицы. Тогда вместо (3.72) можно принять приближенное выражение L()  20 lg (k / ). Этому выражению соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, имеющая частоту среза _ср = k (см. прямую а – b на рис. 3.24).

Правее сопрягающей частоты, т. е. при  > 1 / T, в подкоренном выражении (3.72), можно пренебречь единицей по сравнению с ²T². Тогда вместо (3.72) можно принять приближенное выражение L()  20 lg (k / T ²). Этому выражению соответствует прямая с отрицательным наклоном 40 дБ/дек (см. прямую b – c на рис. 3.24).

Ломаная прямая а – b – c представляет собой асимптотическую ЛАХ. Действительная ЛАХ (показана пунктиром) будет иметь наибольшее отклонение в точке b, т. е. при сопрягающей частоте. Ошибка в этой точке будет составлять 3 дБ, т. е. в линейном масштабе ошибка амплитуды будет в раз меньше. По мере удаления от сопрягающей частоты влево и вправо действительная ЛАХ будет сливаться с асимптотами, т. е. прямыми а – b и b – с.

ЛФХ строится суммированием постоянного фазового сдвига ₁ = –90 и переменного фазового сдвига ₂ = –аrctg Т. При сопрягающей частоте имеем ₂ = –45 и  = ₁ + ₂ = –135.

Из логарифмических характеристик видно, что звено приближается к идеальному интегрирующему звену при частотах, меньших сопрягающей частоты, тем точнее, чем меньше рабочая частота по сравнению с сопрягающей.