3.8. Апериодическое звено второго порядка

Звено относится к группе позиционных звеньев и описывается дифференциальным уравнением в операторной форме

. (3.38)

Корни характеристического уравнения апериодического звена второго порядка

(3.39)

должны быть вещественными, что будет выполняться при условии Т₁ ≥ 2 Т₂.

Левая часть уравнения (3.38) может разлагаться на сомножители:

, (3.40)

где . (3.41)

Передаточная функция этого звена

. (3.42)

Из последнего выражения видно, что апериодическое звено второго порядка эквивалентно двум апериодическим звеньям первого порядка, включенным последовательно друг за другом, с общим коэффициентом передачи k и постоянными времени Т₃ и Т₄.

Примеры апериодических звеньев второго порядка приведены на рис. 3.15. Рассмотрим подробно случай двигателя постоянного тока (рис. 3.15, в).

При отсутствии момента нагрузки на валу и при учете переходных процессов в цепи якоря динамика двигателя описывается двумя уравнениями, соответствующими закону равновесия эдс в цепи якоря

(3.43)

и закону равновесия моментов на валу двигателя

, (3.44)

где С_Е и С_М – коэффициенты пропорциональности между противоэдс и скоростью вращения и между вращающим моментом и током якоря; J – приведенный момент инерции; L и R – индуктивность и сопротивление цепи якоря.

Рис. 3.15. Апериодические звенья второго порядка

Решая уравнения (3.43) и (3.44) совместно, получим передаточную функцию двигателя постоянного тока при управлении напряжением якоря

, (3.45)

где электромеханическая постоянная времени

(3.46)

и электромагнитная постоянная времени якорной цепи

. (3.47)

Для того чтобы корни знаменателя в (3.45) были вещественными и передаточную функцию можно было представить в виде (3.42), необходимо выполнение условия 4T_я ≤ T_м.

Переходная функция получается путем решения дифференциального уравнения (3.38) при x₁ = 1(t) и нулевых начальных условиях, т. е. при t = 0; x₂ = 0 и

, (3.48)

и его функция веса

. (3.49)

Временные характеристики звена изображены на рис. 3.16 (для определенности принято T₃ > T₄).

Рис. 3.16. Переходная функция (а) и функция веса (б) апериодического звена второго порядка

На переходной характеристике показано построение, позволяющее по экспериментальным данным определять постоянные времени Т₃ и Т₄.

Частотная передаточная функция согласно (3.42), ее модуль и фаза соответственно будут иметь вид:

; (3.50)

. (3.51)

Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики показаны на рис. 3.17.

Рис. 3.17. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) апериодического звена второго порядка

На характеристиках (рис. 3.17) отмечены характерные точки.

Построим теперь логарифмические характеристики (рис. 3.18). Для этой цели проведем вертикальные пунктирные прямые при сопрягающих частотах ₃ = 1 / T₃ и ₄ = 1 / T₄. Будем считать, что T₃ > T₄ и ₃ < ₄.

ЛАХ этого звена определяется выражением

. (3.52)

Для частот, меньших, чем сопрягающая частота ₃, а значит, и меньших, чем частота ₄, будет справедливым допущение, что ²T₃² < 1 и ²T₄² < 1, поэтому в обоих подкоренных выражениях (3.52) можно пренебречь слагаемыми с частотой (²T₃² и ²T₄²). Тогда в этой области частот (3.52) будет выглядеть как L()  20 lg k. Этому выражению соответствует прямая, параллельная оси частот (прямая а – b на рис. 3.18). Подробнее см. подразд. 3.5, п. 1.

Рис. 3.18. ЛАХ и ЛФХ апериодического звена второго порядка

Для диапазона частот ₃ <  < ₄ будет справедливым допущение, что ²T₃² > 1, а ²T₄² < 1, поэтому в первом подкоренном выражении (3.52) можно пренебречь единицей, а во втором – слагаемым с частотой (²T₄²). Тогда в этой области частот (3.52) будет выглядеть как L()  20 lg(k / T₃). Этому выражению соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек (прямая b – с на рис. 3.18). Подробнее см. подразд. 3.5, п. 2.

Для диапазона частот, больших, чем ₄, соответственно имеем ²T₃² > 1 и ²T₄² > 1, поэтому L()  20 lg(k / ²T₃T₄). Этому выражению соответствует прямая с отрицательным наклоном 40 дБ/дек (прямая с – d на рис. 3.18). Подробнее см. подразд. 3.5, п. 3.

Ломаная линия а – b – с – d представляет собой асимптотическую ЛАХ. Действительная ЛАХ на рис. 3.18 показана пунктиром. Она будет расходиться с асимптотической ЛАХ в местах изломов на 3 дБ.

ЛФХ получается суммированием двух слагаемых (см. второе уравнение в (3.51)). Каждое слагаемое дает фазовую характеристику, совпадающую с ЛФХ апериодического звена первого порядка ₁() и ₂() (рис. 3.18). В результате суммирования получаем искомую ЛФХ, ордината которой соответствует  → 0 при  → 0 и  → –180 при  → .