3.6. Безынерцинное звено

Безынерционным или идеальным звеном называется звено, которое не только в статике, но и в динамике описывается алгебраическим уравнением

. (3.25)

Передаточная функция звена равна постоянной величине

. (3.26)

Звено относится к группе позиционных звеньев. Примером такого звена являются делитель напряжения, идеальный усилитель, редуктор (без учета явления скручивания и люфтов) и т. п.

Переходная функция такого звена представляет собой ступенчатую функцию (рис. 3.10, а), т. е. при x₁ = 1(t), x₂ = A(t) = k 1(t).

Функция веса представляет собой импульсную функцию, площадь которой равна k (рис. 3.10, б), т. е. при , .

Амплитудно-фазовая характеристика вырождается в точку, расположенную на вещественной оси на расстоянии k от начала координат (рис. 3.10, в).

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика представляет собой прямую, параллельную оси частот, проходящую на высоте 20 lg k.

Рис. 3.10. Переходная функция (а), функция веса (б) и АФЧХ (в) безынерционного звена

Фазовые сдвиги в рассматриваемом звене отсутствуют при любой частоте входного воздействия, т. е.  = 0. Логарифмическая фазовая характеристика совпадает с осью частот и здесь не приводится.

Следует подчеркнуть, что такое звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до +. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев, например апериодическое или колебательное, если динамическими (переходными) процессами в этом звене можно пренебречь.

3.7. Апериодическое звено первого порядка

Звено относится к группе позиционных звеньев и описывается дифференциальным уравнением в операторной форме

. (3.27)

Передаточная функция этого звена

. (3.28)

Одним из примеров апериодического звена первого порядка является RL-цепь (рис. 3.11, а). Входной величиной такого звена является напряжение U₁, а в качестве выходной величины может рассматриваться ток или падение напряжения на сопротивлении R – U₂. В первом случае коэффициент передачи k = 1 / R, а во втором k = 1, постоянная времени звена в обоих случаях T = L / R.

Рис. 3.11. Апериодические звенья первого порядка

Другим примером является RC-цепь (рис. 3.11, б) с коэффициентом передачи k = 1 и постоянной времени T = RC.

К этому же типу звена можно свести генератор постоянного тока, используемый в качестве усилителя. Входной величиной является напряжение, подаваемое на обмотку возбуждения, а выходной – напряжение на якоре генератора. Предполагается, что генератор вращается с постоянной скоростью n = const посторонним независимым источником. Апериодическим звеном первого порядка является также управляемый двигатель постоянного или переменного тока, если можно пренебречь переходными процессами в обмотке управления. Входной величиной здесь является напряжение, подводимое к управляющей обмотке, а выходной – скорость вращения двигателя.

Переходная функция звена найдется как решение уравнения (3.27) при x₁ = 1(t) и начальном условии x₂ = 0 при t = 0. Это решение представляет собой экспоненту (рис. 3.12, а)

. (3.29)

Множитель 1(t) указывает, что экспонента рассматривается, начиная с момента t = 0, т. е. для положительного времени. Во многих случаях этот множитель опускается, но то, что экспонента рассматривается для t ≥ 0, необходимо иметь в виду.

Отрезок, отсекаемый касательной к кривой, в любой точке кривой на асимптоте равен постоянной времени T. Видно, что чем больше постоянная времени звена, тем больше длится переходный процесс, т. е. медленнее устанавливается статическое значение x₂ = k на выходе звена. Строго говоря, экспонента приближается к этому значению в бесконечности. Принято, что переходный процесс считается уже закончившимся через промежуток времени 3T, а в более точных расчетах – до (4 … 5)Т.

Постоянная времени характеризует «инерционность» или «инерционное запаздывание» апериодического звена. Выходное значение x₂ = k x₁ в апериодическом звене устанавливается только спустя некоторое время после подачи входного воздействия.

Рис. 3.12. Переходная функция (а) и функция веса (б) апериодического звена первого порядка

Функция веса (рис. 3.12, б) может быть найдена дифференцированием уравнения (3.29)

. (3.30)

Частотная передаточная функция согласно (3.28), её модуль и фаза соответственно будут иметь вид:

; (3.31)

. (3.32)

Все три характеристики изображены на рис. 3.13. АФЧХ для положительных частот имеет вид полуокружности с диаметром, равным коэффициенту передачи звена k .Величина постоянной времени звена Т определяет распределение отметок ω вдоль кривой. Три характерные отметки показаны на рис. 3.13, а ( = 0;  = 1 / T и   → ).

Рис. 3.13. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) апериодического звена первого порядка

АФЧХ для положительных частот может быть дополнена зеркальной полуокружностью для отрицательных частот (показана пунктиром). В результате амплитудно-фазовая характеристика будет представлять замкнутую кривую – окружность.

Из АЧХ видно, что колебания малых частот  < 1 / T «пропускаются» данным звеном с отношением амплитуд выходной и входной величин, близким к статическому коэффициенту передачи звена k. Колебания больших частот  > 1 / T проходят с сильным ослаблением амплитуды (малое значение А), т. е. «плохо пропускаются» или практически «не пропускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени Т, т. е. чем меньше инерционность звена, тем более вытянута амплитудная характеристика А() вдоль оси частот, или тем шире полоса пропускания частот у данного звена

_п = 2 / T. (3.33)

Кроме того, чем меньше постоянная времени звена, тем меньше получаются фазовые сдвиги между выходным и входным колебаниями.

Найдем выражения для вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции. Для этого умножим числитель и знаменатель (3.31) на комплекс, сопряженный знаменателю

(3.34)

Из уравнения (3.34) имеем:

(3.35)

Построим логарифмические частотные характеристики апериодического звена первого порядка (рис. 3.14).

Для построения ЛАХ здесь и далее будем считать, что коэффициент k – безразмерный. Для (3.31) имеем

. (3.36)

Построим приближенную, так называемую асимптотическую ЛАХ. Для этой цели на стандартной сетке (рис. 3.14) проведем вертикальную  пунктирную прямую при, так называемой сопрягающей частоте  = 1 / T.

Для частот, меньших, чем сопрягающая частота  = 1 / T, будет справедливым допущение, что ²T² < 1. Поэтому в подкоренном выражении (3.36) можно пренебречь слагаемыми с частотой ²T². Тогда в этой области частот (3.36) будет выглядеть как L()  20 lg k. Этому выражению соответствует прямая параллельная оси частот (прямая а – b на рис. 3.14). Подробнее см. подразд. 3.5, п. 1.

Для диапазона частот, больших, чем  = 1 / T, будет справедливым допущение, что ²T² > 1. Поэтому в подкоренном выражении (3.36) можно пренебречь единицей. Тогда в этой области частот (3.36) будет выглядеть как L()  20 lg(k / T). Этому выражению соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек (прямая b – c на рис. 3.14). Подробнее см. подразд. 3.5, п. 2.

Рис. 3.14. ЛАХ и ЛФХ апериодического звена первого порядка

Ломаная линия а – b – с и называется асимптотической (приближенной) ЛАХ. Как было видно, построение ее производится весьма просто – практически без вычислительной работы. Действительная ЛАХ (пунктир на рис. 3.14) несколько отличается от асимптотической. Наибольшее отклонение будет в точке b, оно равно – 3,03 дБ, что в линейном масштабе соответствует отклонению в раз, так как

L(1 / T) = 20 lg(k /  ) = 20 lg k – 3,03. (3.37)

На всем остальном протяжении влево от сопрягающей частоты действительная ЛАХ будет отличаться от асимптотической менее чем на 3 дБ. Поэтому во многих практических расчетах достаточно ограничиться построением асимптотической ЛАХ.

На рис. 3.14 показана логарифмическая фазовая характеристика (ЛФХ). Характерной ее особенностью является сдвиг по фазе, равный –45 при сопрягающей частоте (–arctg T = –arctg 1 = –45), и симметрия ЛФХ относительно сопрягающей частоты. Для частоты  = 0 фазовый сдвиг  = 0, а для  →  фазовый сдвиг  → –90.