Афчх для декартовых координат

	u()	v()
0 … 	– – –	– – –

Построение АФЧХ по вещественной и мнимой частям частотной передаточной функции, как правило, является трудоемкой работой. Так как умножение частотной передаточной функции на комплекс, сопряженный её знаменателю, повышает в два раза степень частоты в знаменателе. Это можно увидеть из выражений (3.21) и (3.22). Иногда гораздо проще строить АФЧХ, используя полярные координаты, т. е., вычисляя непосредственно модуль по (3.18) и фазу по (3.19), получая таблицу, аналогичную табл. 3.2.

Таблица 3.2

Афчх для полярных координат

	A()	()
0 … 	– – –	– – –

Зная модуль (длину вектора) и фазу (угол поворота вектора от оси абсцисс против часовой стрелки), можно построить соответствующую точку на комплексной плоскости (рис. 3.6).

Вместо АФЧХ можно построить отдельно амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и фазовую частотную характеристику (ФЧХ). Это построение делается по табл. 3.2 в декартовых координатах. По оси абсцисс откладывается частота, а по оси ординат – отдельно модуль и аргумент частотной передаточной функции (рис. 3.7).

Амплитудная частотная характеристика показывает, как звено изменяет амплитуду синусоидального сигнала различной частоты. Оценка пропускания делается по значению модуля частотной передаточной функции (по отношению амплитуд выходной и входной величин).

АЧХ обычно является безразмерной величиной.

Фазовая частотная характеристика показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном в синусоидальный сигнал на различных частотах. Оценка делается по значению аргумента частотной передаточной функции.

ФЧХ обычно выражается в градусах.

Рис. 3.7. Построение АЧХ (а) и ФЧХ (б)

По результатам вычисления модуля и фазы для положительных частот можно сразу построить АЧХ и ФЧХ для всего диапазона частот от - до +, зеркально отражая характеристики аналогично АФЧХ.

Иногда для расчетных целей отдельно строятся вещественная и мнимая частотные характеристики. Это построение выполняется по данным табл. 3.1. Вещественная характеристика представляет собой четную функцию частоты, а мнимая характеристика – нечетную.

3.5. Логарифмические частотные характеристики звеньев

Кроме амплитуд и фазовых сдвигов для характеристики динамических звеньев в теории автоматического управления желательно знать как то или иное звено изменяет мощность входного сигнала. Для этого используют логарифмические частотные характеристики.

Оценка изменения мощности синусоидального сигнала обычно выражается в децибелах. Децибел равен одной десятой части бела. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в десять раз, два бела – в 100 раз, три бела – в 1000 раз и т. д.

Получим выражения для построения логарифмических частотных характеристик. Для этого прологарифмируем выражение частотной передаточной функции

. (3.23)

Как видно из этого выражения, логарифм частотной передаточной функции равен комплексному выражению, вещественной частью которого является логарифм модуля, а мнимой – фаза.

Для практических целей удобнее пользоваться десятичными логарифмами и строить отдельно логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАХ) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФХ).

ЛАХ показывает изменение мощности, вносимое динамическим звеном в синусоидальный сигнал на различных частотах.

Для построения ЛАХ находится величина

. (3.24)

Для построения ЛФХ находится величина фазового сдвига для положительного диапазона частот. Другими словами ЛФХ является частью обычной ФЧХ, построенной в диапазоне частот 0 <  < +.

Для построения ЛАХ и ЛФХ используется специальная сетка, изображенная на рис. 3.8.

Если бы А() в (3.24) было отношением мощностей (что нам собственно и требуется), то для его перевода в децибелы перед логарифмом в правой части (3.24) должна была бы стоять цифра 10. Но, так как А() представляет собой отношение не мощностей, а амплитуд выходной и входной величин (например напряжений, токов, скоростей и т. д.), то увеличение этого отношения в 10 раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в сто раз, что соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части (3.24) стоит цифра 20. Один децибел соответствует изменению амплитуды в раз, т. е. представляет сравнительно малую величину.

По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, т. е. наносятся отметки, соответствующие значению lg , а около отметок пишется само значение частоты  в герцах.

По оси ординат откладывается модуль в децибелах. Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Отрицательное значение модуля откладывается по оси вниз, а положительное – вверх.

Рис. 3.8. Сетка для построения ЛАХ и ЛФХ

Ось абсцисс ЛАХ (ось частот) проходит через точку нуля децибел по оси ординат, что соответствует значению модуля А() = 1 (так как логарифм единицы равен нулю).

Ось ординат ЛАХ может пересекать ось абсцисс в произвольном месте.

Следует учесть, что точка  = 0 лежит на оси абсцисс слева в бесконечности, (так как lg (0) -). Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход ЛАХ. Для этой цели необходимо провести ось ординат левее самой малой сопрягающей частоты ЛАХ (как это сделать будет разъяснено далее).

Для построения ЛФХ по оси ординат откладывается фазовый сдвиг в градусах. Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Отрицательный сдвиг по фазе откладывается по оси вверх, а положительный – вниз.

Для построения ЛФХ используется аналогичная ЛАХ ось абсцисс (ось частот). Иногда используют одну общую для ЛАХ и ЛФХ ось абсцисс.

Для практических расчетов необходимо совмещать точку нуля децибел на оси ординат ЛАХ с точкой, где фаза равна минус 180 градусов на оси ординат ЛФХ.

Иногда по оси абсцисс на сетке указывается не сама частота, а ее десятичный логарифм (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Логарифмический масштаб

Единица приращения логарифма соответствует одной декаде, т. е. увеличению частоты в 10 раз. Применяется также масштаб в октавах. Одна октава соответствует удвоению частоты. Так как lg 2 = 0,303, то одна октава соответствует 0,303 декады. Использование на оси частот декад и октав менее удобно, чем нанесение самой частоты в герцах и поэтому используется редко.

Для построения ЛАХ и ЛФХ может использоваться специальная полулогарифмическая бумага, однако сейчас удобнее использовать один из математических пакетов Maple (или подобные) или MS Excel.

Главнейшим достоинством ЛАХ является возможность построения ее во многих случаях практически без вычислительной работы. Это особенно проявляется в тех случаях, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая ЛАХ может быть найдена суммированием ординат ЛАХ, соответствующих отдельным сомножителям. Подробно это будет рассмотрено далее при построении характеристик динамических звеньев.

Для иллюстрации простоты построения ЛАХ рассмотрим несколько важных примеров.

1. Модуль частотной передаточной функции равен постоянному числу А() = k₁, тогда L() = 20 lg А() = 20 lg k₁.

ЛАХ в этом случае представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (прямая 1 на рис. 3.8).

2. Модуль частотной передаточной функции равен А() = k₂ / , тогда L() = 20 lg (k₂ / ) = 20 lg k₂ – 20 lg .

Нетрудно видеть, что это есть прямая линия, проходящая через точку с координатами = 1; L() = 20 lg k₂ и имеющая отрицательный наклон в 20 дБ/дек, так как каждое удесятирение частоты вызовет увеличение lg  на одну единицу, т. е. на минус 20 дБ (прямая 2 на рис. 3.8). Наклон 20 дБ/дек приблизительно равен наклону 6 дБ/окт (точнее 6,06 дБ/окт, так как ).

Точку пересечения прямой с осью нуля децибел (с осью частот) можно найти, положив А() = 1. Отсюда получаем так называемую частоту среза ЛАХ, равную в этом случае _ср = k₂.

3. Модуль частотной передаточной функции равен А() = k₃ / ², тогда L() = 20 lg (k₃ / ²) = 20 lg k₃ – 20∙2 lg .

Нетрудно видеть, что ЛАХ это есть прямая линия, проходящая через точку  = 1; L() = 20 lg k₃ и имеющая отрицательный наклон в минус 40 дБ/дек.

Эта прямая также может быть построена по частоте среза_ср = k₃^-0,5, полученной при А() = 1 (прямая 3 на рис. 3.8).

Вообще для A() = k_n / ⁿ ЛАХ представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20∙n дБ/дек. Эта прямая может быть построена по одной какой-либо точке, например по точке = 1; L() = 20 lg k_n или по частоте среза . Очевидно, что размерность коэффициента – секунда в степени минус n (c^-n).

4. Модуль частотной передаточной функции равен А() = k₄ , тогда L() = 20 lg (k₄ ) = 20 lg k₄ + 20 lg .

Нетрудно видеть, что ЛАХ это есть прямая линия, проходящая через точку  = 1; L() = 20 lg k₄ и имеющая положительный наклон в 20 дБ/дек.

Эта прямая также может быть построена по частоте среза_ср = 1 / k₄, полученной при А() = 1 (прямая 4 на рис. 3.8).

Аналогичным образом можно показать, что в случае, когда A() = k_m ^m, ЛАХ представляет собой прямую линию с положительным наклоном 20 m дБ/дек. Эта прямая также может быть построена по одной какой-либо точке, например по точке  = 1; L() = 20 lg k_m, или по частоте среза .

Иногда при расчете автоматических систем используются логарифмические амплитудно-фазовые характеристики (ЛАФХ). Они строятся в координатах «модуль в децибелах – фаза» или «модуль в децибелах – запас по фазе». Под запасом по фазе понимается величина () = 180⁰ + (). На ЛАФХ для ориентировки могут наноситься точки, соответствующие определенным частотам. В этом случае около этих точек указывается частота в герцах.