3.4. Частотные характеристики звеньев
Для анализа динамических характеристик звена важно знать его реакцию на периодически изменяющиеся сигналы. Для этого служат так называемые частотные характеристики. Типовыми воздействиями в частотной области обычно является синусоидальный сигнал. Для получения частотных характеристик вводится понятие частотной передаточной функции динамического звена.
Для получения частотной передаточной функции рассмотрим случай, когда при f = 0 (см. рис. 3.1) на входе звена имеется гармоническое воздействие x1 = X1 sin t, где X1 – амплитуда, а – угловая частота этого воздействия (обычно выражается в герцах (Гц)).
На выходе звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, но в общем случае сдвинутая по фазе относительно входной величины. Таким образом, для выходной величины можно записать x2 = X2 sin(t +).
Воспользуемся символической записью гармонических функций:
(3.11)
Символичность записи заключается в том, что на самом деле левые части (3.11) равны мнимой составляющей правых частей, т. е.
(3.12)
но для сокращения записи используют сокращенную «символическую» форму (3.11).
Для нахождения соотношения между выходной и входной гармоническими величинами звена воспользуемся его дифференциальным уравнением (2.8).
Положим f = 0 и преобразуем операторную форму записи дифференциального уравнения (2.8) в обычную:
. (3.13)
Из (3.11) определим производные входных и выходных величин:
.
(3.14)
Подставим (3.11) и (3.14) в исходное дифференциальное уравнение (3.13):
(3.15)
Сократим
общий множитель
в (3.15) и перегруппируем, в результате
получим
. (3.16)
Выражение (3.16) является искомой частотной передаточной функцией звена. Для ее обозначения используется функция w(j).
Частотная передаточная функция представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к входной, а аргумент – сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.
Из
выражения (3.16) видно, что частотная
передаточная функция может быть легко
получена из передаточной функции звена
(3.2) заменой оператора p на комплекс j,
т. е.
.
Частотная передаточная функция (как любое комплексное число) может быть представлена в двух формах записи:
, (3.17)
где A() – модуль частотной передаточной функции; () – аргумент или фаза частотной передаточной функции; u() и v() – вещественная и мнимая части частотной передаточной функции.
Для рассмотренной выше частотной передаточной функции – дробного комплексного числа (3.16) – модуль находится как модуль числителя, деленный на модуль знаменателя, в результате имеем:
.
(3.18)
Аргумент или фаза частотной передаточной функции – дробного комплексного числа (3.16) – находится по разности аргументов числителя и знаменателя:
.
(3.19)
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции необходимо освободиться от мнимости в знаменателе последней. Для этой цели числитель и знаменатель частотной передаточной функции необходимо умножить на комплекс, сопряженный знаменателю. Так, для (3.16) имеем:
.
(3.20)
После разделения (3.20) на вещественную и мнимую части получаем:
;
(3.21)
.
(3.22)
Для наглядного представления частотных свойств звеньев используются так называемые частотные характеристики.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующих комплексу частотной передаточной функции при изменении частоты от нуля до бесконечности. Модуль вектора, проведенного из начала координат в точку годографа, соответствующую выбранной частоте, равен модулю частотной передаточной функции или отношению амплитуды выходной величины к входной. Угол между вектором и положительным направлением вещественной оси, отсчитанный против часовой стрелки, равен аргументу частотной передаточной функции или фазовому сдвигу выходной величины по отношению входной.
Т
Рис. 3.6. Построение АФЧХ
аким образом, АФЧХ дает возможность увидеть для каждой частоты входного воздействия звена как отношение амплитуд, так и сдвиг фаз.АФЧХ строится на комплексной плоскости (рис. 3.6). По оси вещественных значений откладывается u(), а по оси мнимых – v(). Задаваясь различными значениями частоты в пределах 0 < < +, по уравнениям (3.21) и (3.22) можно получить табл. 3.1. После получения табл. 3.1 точки u() – v() наносятся на комплексную плоскость и соединяются плавной кривой. Около нанесенных точек можно написать соответствующие им частоты.
АФЧХ может быть построена и для отрицательных частот. Так как при замене в частотной передаточной функции + на – получится сопряженный комплекс, АФЧХ для отрицательных частот может быть построена как зеркальное изображение АФЧХ для положительных частот относительно горизонтальной оси (вещественных значений). На рис. 3.6 АФЧХ для отрицательных частот показана пунктирной линией.
Таблица 3.1